in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 79 
86,b, +alab+a,b, +a,b,)=0 
ist, für welchen 
e=d,a,b, —d,ab, = d,a,b, — d,ab 
wird. In diesem Falle treten die drei singulären Punkte 1, 4, 15 zu 
einem einzigen zusammen, welcher für die Brennfläche ein uniplanarer 
Knotenpunkt wird, dessen osculirender Kegel aus zwei sich deckenden 
Ebenen besteht. Die drei den Knotenpunkten 1, 4, 15 angehörenden 
einhüllenden Kegel zweiten Grades zerfallen jeder in zwei Ebenen, welche 
mit zweien der vorhandenen singulären Tangentialebenen identisch werden 
und sie geben so sechs durch den uniplanaren Knotenpunkt gehende sin- 
guläre Tangentialebenen; die übrigen 12 Knotenpunkte behalten jeder seine 
vier singulären Tangentialebenen und seinen einhüllenden Kegel zweiten 
Grades. Die einer solchen Brennfläche mit 13 Knotenpunkten, deren einer 
ein uniplanarer ist, angehörenden Strahlensysteme bleiben als sechs ver- 
schiedene Strahlensysteme zweiter Ordnung und dritter Klasse bestehen, 
mit dem Unterschiede jedoch, dafs ein jedes derselben nur vier Strahlen- 
kegel zweiten Grades behält, da der fünfte in zwei von dem uniplanaren 
Knotenpunkte ausgehende ebene Strahlenbüschel zerfällt. 
Ein anderer merkwürdiger specieller Fall der Strahlensysteme dritter 
Klasse, welchen man aus den aufgestellten allgemeinen Gleichungen der- 
selben nicht unmittelbar, sondern erst nach einer collinearen Verwand- 
lung erhält, ist der, wo viermal drei Knotenpunke sich zu vier uniplanaren 
Knotenpunkten vereinigen, und drei als gewöhnliche Knotenpunkte be- 
stehen bleiben. Die allgemeinste Gleichung der Flächen vierten Grades 
mit vier uniplanaren und drei gewöhnlichen Knotenpunkten ist 
(yet+zerzyrat+ytrzd’ —Aryzt=0. 
die vier uniplanaren Knotenpunkte sind: 
I; 70, zE=U,; zZ 
2., ZU, v=(0, —ı0, 
3. =) y=(, ==) 
ar, Urne 20, 
und die drei gewöhnlichen Knotenpunkte: 
