in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. sl 
einer seinen Strahlenkegel zweiten Grades und die beiden anderen ihre 
ebenen Strahlenbüschel behalten. 
$. 9. 
Die Strahlensysteme zweiter Ordnung und vierter Klasse, 
ohne Brenncurven. 
Die Strahlensysteme der vierten Klasse, für welche der Grad rn 
der drei Funktionen P, Q, R gleich 3 ist, haben nach dem Satze XXIV. 
einen Doppelstrahl. Die beiden in diesem Doppelstrahl liegenden singu- 
lären Punkte des Systems haben nach Satz XXXIV. Strahlenkegel dritten 
Grades, für welche der Doppelstrahl eine Doppelkante ist, und aufser 
diesen beiden sind keine anderen Strahlenkegel dritten Grades vorhanden, 
es ist also m, —=2. Setzt man nun in den beiden Gleichungen der Sätze 
XXRX. und XXX. 2=3 so erhält man: 
108=m, + Sm, + 27m,, 30 = 2m, + 9m,, 
also: 
Mi. — 0, 2. 6, N, = 2, 
man hat demnach folgenden Satz: 
XL. Die Strahlensysteme zweiter Ordnung und vierter Klasse 
haben einen Doppelstrahl und 14 singuläre Punkte und 
zwar 6 mit ebenen Strahlenbüscheln, 6 mit Strahlen- 
kegeln zweiten Grades und 2 mit Strahlenkegeln dritten 
Grades; ihre Brennflächen sind Flächen vierten Grades 
mit 14 Knotenpunkten und 6 singulären Tangential- 
ebenen. 
Die analytische Darstellung dieser Strahlensysteme beruht auf der 
Bestimmung der drei Funktionen P, Q, R in der Gleichung 
PE+Qn+R2=0, (1) 
denn diese Gleichung, mit ihren abgeleiteten, bestimmt das Strahlen- 
system vollständig. Wählt man den einen Doppelstrahl als z Axe, so 
Math. Kl. 1866, L 
