in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 87 
noch von den sechs Knotenpunkten 2, 3, 4, 6, 7, 8 ausgehend sechs 
ebene Strahlenbüschel, welche beziehungsweise in den singulären Tan- 
gentialebenen 2, q, 9’, &, p, pliegen. Da ein jedes Strahlensystem zweiter 
Ordnung und vierter Klasse zwei Strahlenkegel dritten Grades mit einer 
gemeinsamen Doppelkante als Doppelstrahl haben mufs, und da die Brenn- 
fläche nur vier solche Paare von einhüllenden Kegeln dritten Grades mit 
gemeinsamer Doppelkante hat, so folgt, dafs auf einer und derselben 
Brennfläche nicht mehr als vier solche Strahlensysteme liegen können. 
Dafs in der That eine jede solche Fläche vierten Grades die gemeinsame 
Brennfläche von vier solchen Strahlensystemen ist, folgt einfach aus der 
Vertauschbarkeit der sechs singulären Tangentialebenen, bei welcher die 
Fläche dieselbe bleibt, aber die Knotenpunkte derselben in andere über- 
gehen. Vertauscht man q’ mit p und q mit p so gehen die Knoten- 
punkte 1 und 5 in 2 und 6 über und man erhält ein zweites Strahlen- 
system zweiter Ordnung und vierter Klasse, welches die Verbindungslinie 
der Knotenpunkte 2 und 6 zum Doppelstrahle hat; ebenso erhält man das 
dritte Strahlensystem dieser Art mit dem durch die Knotenpunkte 3 und 7 
gehenden Doppelstrahle durch Vertauschung von p’ und q und das vierte, 
dessen Doppelstrahl durch die Knotenpunkte 4 und 8 geht, durch Ver- 
tauschung von p und g’. Also 
XLI. Jede Fläche vierten Grades mit 14 Knotenpunkten und 
6 singulären Tangentialebenen ist Brennfläche von vier 
verschiedenen Strahlensystemen zweiter Ordnung und 
vierter Klasse. 
Das vollständige System aller eine solche Fläche vierten Grades 
zweimal berührenden graden Linien besteht ausser den genannten vier 
Strahlensystemen zweiter Ordnung und vierter Klasse noch aus einem irre- 
duetibeln Strahlensysteme vierter Ordnung und sechster Klasse und aus 
den sechs Strahlensystemen Oter Ordnung und erster Klasse, welche von 
allen in den sechs singulären Tangentialebenen liegenden graden Linien 
gebildet werden. Die analytische Darstellung der drei anderen auf der- 
selben Brennfläche (15.) liegenden Strahlensysteme zweiter Ordnung und 
vierter Klasse übergehe ich, weil die Ausdrücke zu eomplicirt sind. 
