88 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
$. 10. 
Die Strahlensysteme zweiter Ordnung und fünfter Klasse, ohne 
Brenncurven. 
Für die Strahlensysteme fünfter Klasse ist der Grad der drei Funk- 
tionen P, Q, R, n=4. Dieselben haben nach dem Satze XXIV. drei 
Doppelstrahlen, welche nach Satz XXXIII. durch einen und denselben Punkt 
gehen. Der singuläre Punkt des Strahlensystems, in welchem die drei Doppel- 
strahlen sich schneiden, hat nach dem Satze XXXIV. einen Strahlenkegel 
vierten Grades, für, welchen die drei Doppelstrahlen Doppelkanten sind, 
und die drei singulären Punkte, welche in den drei Doppelstrahlen liegen, 
haben jeder einen Strahlenkegel dritten Grades mit dem singulären Strahl 
als Doppelkante; es ist also hier m, =1, m,=3. Setzt man nun in den 
beiden Gleichungen der Sätze XXIX. und XXX. m, =1,m, =3, n=4, 
so geben dieselben: 
sl=m, +sm,, 2 =tm,; 
also m, =3, m,=6, m,=3, m, =1, man hat demnach folgenden Satz: 
XLH. Die Strahlensysteme zweiter Ordnung und fünfter Klasse 
haben drei durch einen und denselben Punkt gehende 
Doppelstrahlen und 13 singuläre Punkte, und zwar drei 
mit ebenen Strahlenbüscheln, sechs mit Strahlenkegeln 
zweiten Grades, drei mit Strahlenkegeln dritten Grades 
und einen mit einem Strahlenkegel vierten Grades; ihre 
Brennflächen sind Flächen vierten Grades mit 13 Knoten- 
punkten und drei singulären Tangentialebenen. 
Die analytische Darstellung dieser Strahlensysteme wird nach einer 
ähnlichen Methode gefunden, wie die der Strahlensysteme vierter Klasse. 
Wählt man die drei durch einen Punkt gehenden Doppelstrahlen als drei 
Coordinatenaxen und die durch je zwei derselben gehenden Ebenen als 
die Coordinatenebenen der ©, y, 2, und beachtet, dafs die drei Doppel- 
strahlen drei gemeinsame grade Linien der drei Flächen P=0, Q=0, 
R=0 sein müssen, so erhält man für diese drei Funktionen vierten 
Grades folgende Formen: 
