in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 101 
der übrigen acht Knotenpunkte ausgeht, als welchen ich den Knoten- 
punkt 5 wähle, so gehen seine drei Doppelkanten durch drei Knoten- 
punkte der Fläche, welche nicht die Knotenpunkte 1, 2, 3, 4 sind; ich 
bezeichne diese drei Knotenpunkte mit 6, 7, 8. Die vier Knotenpunkte 
5, 6, 7, 8 haben alsdann dieselbe Eigenschaft, als 1, 2, 3, 4, nämlich 
dafs sie die Ecken eines Tetraeders bilden, dessen sechs Kanten die Doppel- 
kanten der vier von diesen Punkten ausgehenden einhüllenden Kegel vier- 
ten Grades sind. Dasselbe ist auch bei den übrigen vier Knotenpunkten 
9:10, 11, 12:der-Fall. 
Das aufgestellte Strahlensystem hat die vier Punkte 1, 2, 3, 4 als 
singuläre Punkte, von denen die vier Strahlenkegel vierten Grades mit 
je drei Doppelkanten ausgehen, die Punkte 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 
aber sind diejenigen 8 singulären Punkte von denen Strahlenkegel zweiten 
Grades ausgehen. Da die vier Knotenpunkte 5, 6, 7, 8 und ebenso auch 
die vier Knotenpunkte 9, 10, 11, 12 genau in demselben Verhältnifs zu 
einander und zu den übrigen Knotenpunkten stehen, als 1, 2, 3, 4, so 
folgt, dafs dieselbe Brennfläche drei verschiedene Strahlensysteme zweiter 
Ordnung und sechster Klasse enthält. Also: 
XLV. Jede Fläche vierten Grades mit zwölf Knotenpunkten 
und ohne singuläre Tangentialebenen, ist Brennfläche 
von drei verschiedenen Strahlensystemen zweiter Ord- 
nung und sechster Klasse, deren sechs Doppelstrahlen 
die Kanten von Tetraedern sind. 
Aulfser diesen drei Strahlensystemen zweiter Ordnung gehört dieser 
Brennfläche noch ein Strahlensystem 6ter Ordnung und zehnter Klasse an. 
Als einen merkwürdigen speciellen Fall dieser Strahlensysteme be- 
merke ich dasjenige für welches a=_0, a =0, a, =0,b=0,b, =, 
d,=0, aor=(,r, =(0,r,=0 ist. Die Brennfläche desselben: 
druat + O,nuy’t + 0,122’ + davy’z’ r duvz’a? + d,wa’y’— 0 
ist die reciproke Polare der Krümmungsmittelpunktsfläche eines drei- 
axigen Ellipsoids, und die drei Strahlensysteme zweiter Ordnung und 
sechster Klasse, welche dieser Brennfläche angehören, haben zu ihren 
