in's Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 103 
33=m, + 58m,, 8=2m,, 
also m, =1, m, =4. Man hat also den Satz: 
XLVI. Die Strahlensysteme zweiter Ordnung und vierter Klasse 
der zweiten Art haben sechs durch einen und denselben 
Punkt gehende Doppelstrahlen, ferner haben sie zwölf 
singuläre Punkte und zwar einen mit einem ebenen 
Strahlenbüschel, vier mit Strahlenkegeln zweiten Gra- 
des, sechs mit Strahlenkegeln dritten Grades mit je einer 
Doppelkante, und einen mit einem Strahlenkegel fünften 
Grades und sechs Doppelkanten. Die Brennflächen dieser 
Systeme sind Flächen vierten Grades mit zwölf Knoten- 
punkten und mit einer singulären Tangentialebene. 
Die analytische Darstellung dieser Strahlensysteme wird nach fol- 
gender Methode gefunden. Es sei wie oben 
u=yg— zn, v=re—ıl, u=n—yE£; 
so nehme ich als die erste Gleichung eines Strahlensystems eine Gleichung 
von folgender Form: 
atu?” + biv? + 2pvo + 2guu+2rw—0 (1.) 
wo p=dy+d,.+d,t, qg=ez+er+et r=fe+fy+fit. 
Diese Gleichung hat nur eine abgeleitete, nämlich: 
(d,n+d,)vu+ (e,g+eHuur(fEr/,NMuv=0 (2.) 
Die beiden Gleichungen (1.) und (2.) bestimmen daher ein Strahlen- 
system vollständig. Obgleich nun die erste Gleichung, entwickelt, in Be- 
ziehung auf &, », & vom zweiten Grade ist, und die zweite Gleichung vom 
dritten Grade, so ist dieses Strahlensystem dennoch nur eines der zweiten 
Ordnung. Um dies zu zeigen setze ich die Gleichung (1.) in die Form: 
zu(len+ fi) +yv(hurdo)+zudv+e,W+tM=0, 
