in's Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 105 
(5.) (px +gqy— r2)’ — (298 — atz)(:py — bt) = 0. 
welche auch in folgende Form gesetzt werden kann: 
(6.) (px — qy)’ — z(epra + 2qgry — 2apyt — 2bgatr’z— ab’ z)—=0 
Hieraus folgt zunächst, dafs die Ebene z=0 eine singuläre Tan- 
gentialebene der Brennfläche ist, welche dieselbe in dem Kegelschnitt 
z=0, pe —qy=0 berührt. Die sechs in dieser singulären Tangential- 
ebene liegenden Knotenpunkte der Fläche sind bestimmt durch die drei 
Gleichungen: 
z=0, pr —qy=0, pra+gry— apyt— bget=0 
sie sind demnach: 
1 AU: =): 0, 
2., 710; 10: —=% 
3., Br 0% N) 0), 
4., z=0; el, DV, 
Die beiden übrigen in z= 0 liegenden Knotenpunkte 5., und 6., werden 
durch eine quadratische Gleichung bestimmt. Aus der Form der Glei- 
chung (5.) ersieht man ferner, dafs die acht Durchschnittspunkte der drei 
Flächen zweiten Grades: 
pe +qy—-rz=(0, 2gz—atz=(, zpy—btz=0 
Knotenpunkte der Brennfläche sein müssen und da von diesen acht 
Knotenpunkten nur die zwei 1., und 2., in der Ebene z = 0 liegen, so 
so erhält man hierdurch noch die sechs Knotenpunkte, welche mit 7, 8, 9, 
10, 11, 12 bezeichnet werden sollen. Die Brennfläche hat also 12 Knoten- 
punkte, und man kann sich leicht überzeugen, dafs sie auch ausser diesen 
12 keine anderen Knotenpunkte weiter hat. Das durch die beiden Glei- 
chungen (1.) und (2.) gegebene Strahlensystem zweiter Ordnung hat also 
zur Brennfläche eine Fläche vierten Grades mit 12 Knotenpunkten und 
einer singulären Tangentialebene. Untersucht man die von den Knoten- 
Math. Kl. 1866. Ö 
