in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 107 
falls ein einhüllender Kegel fünften Grades ausgeht mit sechs Doppel- 
kanten, welche durch die sechs Knotenpunkte 7, 8, 9, 10, 11, 12 hin- 
durchgehen und da von jedem dieser sechs Knotenpunkte noch ein zweiter 
einhüllender Kegel dritten Grades ausgeht, mit einer durch den Knoten- 
punkt 2, hindurchgehenden Doppelkante, so erkennt man, dafs derselben 
Brennfläche noch ein zweites Strahlensystem derselben Art angehört, 
welches man aus dem aufgestellten ableiten kann, indem man x und p 
und zugleich y und q mit einander vertauscht, wodurch der Knotenpunkt 1. 
in den Knotenpunkt 2. übergeht. Also: 
XLVII. Jede Fläche vierten Grades mit 12 Knotenpunkten und 
mit einer singulären Tangentialebene ist Brennfläche 
von zwei verschiedenen Strahlensystemen zweiter Ord- 
nung und sechster Klasse, deren sechs Doppelstrahlen 
durch einen Punkt gehen. 
$. 13. 
Die Strahlensysteme zweiter Ordnung und siebenter Klasse, 
ohne Brenncurven. 
Die Strahlensysteme der siebenten Klasse haben, wie oben gezeigt 
worden ist, zehn Doppelstrahlen, welche durch einen und denselben 
Punkt gehen, und sie haben in diesem singulären Punkte einen Strahlen- 
kegel sechsten Grades mit zehn Doppelkanten, in denen die zehn Doppel- 
strahlen liegen; es ist also für dieselben m, = 1. In jedem der zehn 
Doppelstrahlen liegt ausserdem noch ein singulärer Punkt mit einem 
Strahlenkegel dritten Grades, welcher diesen Doppelstrahl als Doppelkante 
hat; es ist daher m, = 10. Ausserdem ist m, =0 m, =(, weil singuläre 
Punkte mit Strahlenkegeln eines höheren, als des zweiten Grades nur in 
den Doppelstrahlen liegen können, und weil die in diesen liegenden 11 singu- 
lären Punkte ‚nur zehn Strahlenkegel dritten Grades und einen sechsten 
Grades haben. Setzt man daher in den Gleichungen der Sätze XXIX. 
EnlHRXX. m, = 1, m, U, nom, 10 wid ausserdem" ='6, 
da das Strahlensystem von der siebenten Klasse ist, so erhält man: 
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