108 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
0=m, +3m,, dm, 
also m, =0, m,=0. Hieraus folst: 
XLVIH. Die Strahlensysteme zweiter Ordnung und siebenter 
Klasse haben zehn durch einen und denselben Punkt 
gehende Doppelstrahlen, ferner haben sie elf singuläre 
Punkte und zwar einen mit einem Strahlenkegel sechsten 
Grades mit zehn Doppelkanten und zehn mit Strahlen- 
kegeln dritten Grades und je einer Doppelkante. Die 
Brennflächen dieser Systeme sind Flächen vierten 
Grades mit elf Knotenpunkten, von einem derselben 
muls ein einhüllender Kegel sechsten Grades mit zehn 
Doppelkanten ausgehen. 
Nimmt man als erste Gleichung eines Strahlensystems die Gleichung 
(1.) atu’ + btu? + ctu” +2puvu + 2qwu+2ruv=(0; 
wo u, v, w, P, q, r dieselbe Bedeutung haben, als im vorigen Paragraphen, 
so hat diese nur eine abgeleitete Gleichung 
(2.) (d,n+d,QJvu+(e,g+edwu+(lfEr-fNw=0, 
die beiden Gleichungen (1.) und (2.) bestimmen daher ein Strahlensystem 
vollständig, und es soll nun nachgewiesen werden, dafs dieses das gesuchte 
Strahlensystem zweiter Ordnung und siebenter Klasse ist, und zwar das 
allgemeinste dieser Art, insofern man alle collinearen Verwandlungen von 
diesem als zugleich mit in dieser Form enthalten betrachtet. Setzt man 
in gleicher Weise, wie dies im vorigen Paragraphen geschehen ist, die 
Gleichung (1.) in die Form: 
zu(leo+fW)+yv(l,u+deo)+zu(d,v+e,u)+1{M=0, 
wo 
2eM= au’ + bv’ + cu’ +2d,uw+2e,wu-+2f,uv, 
und die Gleichung (2.) in die Form: 
Eulen + fo) + nu(f,u+d,a) + gu(d,v+eu)=0, 
