Grenzen für die Werthe der Reste der allgemeinen 

 Entwicklungsreihe mit Differenzen. 



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[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 31. Januar 1S2S.] 



1. 



enn Fx eine beliebige Function einer veränderlichen Gröfse x bedeutet, 

 so dafs Fx, F{x-t-a), F(x+2a), F(x-+-3cc) — die der Reibe nacb auf einan- 

 der folgenden Werthe dieser Function für gleich viel, neinlich um « von ein- 

 ander verschiedene Werthe von x ausdrücken, und man bezeichnet die ersten 

 Glieder der ersten, zweiten, dritten etc. Differenzenreihen der auf einander 

 folgenden Werthe von Fx durch AFx, S'Fx, A^Fx, etc., so ist bekannt- 

 lich für einen beliebigen Werth x ■+- k der Gröfse x : 



1. F (x + k) = Fx + *-AFx + ^±A*Fx + W-'W- 2 «) A^Fx.. 



v ' a 2 w 2 . Sa 3 



k (k—u) (k -2a) . . . . (k — net) ^ F ^ 



Ist k ein ganzzahliges Vielfache von a, so bricht die Reihe ab. Als- 

 dann läfst sich der Ausdruck bekanntlich durch blofse Addition und Sub- 

 traction der auf einander folgenden Werthe von Fx und ihrer Differenzen 

 finden. Er findet aber auch noch eben sowohl Statt, wenn k kein ganzzah- 

 liges Vielfache von a, sondern mit « incommensurabel ist. In solchem Falle 

 bricht die Reihe nicht ab, und sie läfst sich nicht unmittelbar aus dem Aus- 

 drucke für den vorigen Fall herleiten. Dieser Ausdruck ist nur ein beson- 

 derer Fall des allgemeinen Ausdrucks, und der letzte kann nicht aus jenem, 

 sondern nur etwa umgekehrt, jener aus diesem bewiesen werden. 



In der allgemeinen Gestalt ist der Ausdruck für die mathematische 

 Analysis von grofsem Nutzen. Er ist eine allgemeine Entwicklungsformel, 

 Malhemat. Klasse 1S2S. A 



