2 C R e L L e : Grenzen für die TVerlhe der Reste 



die sogar den Taylorschen Lehrsatz mir als besonderen Fall in sich schliefst, 

 nemlich als denjenigen, wenn « = o ist, in welchem Falle man statt der Dif- 

 ferenzen AFx, A'Fjc...., durch«, a 2 etc. dividirt, die Ableitungen oder 

 sogenannten Differentialcoefficienten von Fj: schreibt. Der allgemeine Aus- 

 druck findet nicht blofs in der Differenzenrechnung Anwendung, sondern 

 er giebt auch Entwicklungen von Functionen, die durch den eingeschränkten 

 Taylorschen Ausdruck schwieriger sind. So z. B. giebt er ungemein leicht 

 die Reihe für die analytischen Faculläten, und, vielleicht allein strenge und 

 wirklich allgemein für jeden beliebigen Exponenten, den Binomischen Lehr- 

 satz, die Reihe für die Logarithmen u. s. w. , wie ich solches in dem „Ver- 

 such einer allgemeinen Theorie der analytischen Facultäten u. s. w. Berlin 

 bei Reimer, IS 23" und in dem „Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 

 Berlin bei Reimer, 1S25" nachgewiesen habe. Man kann den Ausdruck, 

 weil er den Taylorschen Lehrsatz als einzelnen besonderen Fall enthält und 

 allgemeiner ist, allgemeinen Taylorschen Lehrsatz nennen. 



Nun ist bekannt, wie wichtig und nothwendig es sei, bei Reihen, die 

 nicht enden, und die man also nicht ganz berechnen kann, den Werth des 

 Restes, der einer beliebigen Zahl von Gliedern noch folgt, zu beurtheilen. 

 Die Glieder einer Pveihe können immerfort abnehmen, und der Rest kann 

 dennoch nicht Null, sondern selbst unendlich grofs sein, wie z. B. bei der 

 sogenannten harmonischen Reihe. In solchem Falle ist die Reihe divergent, 

 und sie dient weder mehr zur Berechnung der Gröfse, welche sie ausdrücken 

 soll, noch läfst sich daraus, sobald ihre Glieder einzeln in Betracht kom- 

 men, etwas weiter für die Grölsen , mit welchen sie sonst in Verbindung 

 steht, mit Sicherheit schliefsen. Bei der obigen allgemeinen Entwicklungs- 

 reihe ist also die Beurtheilung der Restes insbesondere wichtig, weil die 

 Reihe von so ausgedehntem Gebrauche ist. 



Gewöhnlich giebt man, wie bei unendlichen Reihen, deren vollstän- 

 digen Werthe vielleicht unbekannt sind, auch beim Taylorschen Lehrsätze, 

 und bei der obigen allgemeinen Entwicklungsreihe mit Differenzen, nur die 

 ersten Glieder an, etwa so viel davon, als nöthig sind, das Gesetz der Fort- 

 schreitung anschaulich zu machen , ohne weitere Puicksicht auf den Rest. 

 Lagrange hat zuerst den Ausdruck des Restes der Taylorschen Reihe ge- 

 geben; Ampere hat im 13 ,cn Heft des Journal de l'ecole poljtecliniaue, im 

 6"" Bande, diesen Ausdruck des Restes auf einem directeren und leichleren 



