der allgemeinen EnlwicMungsreihe mit Differenzen. 3 



Wege finden gelehrt. Auch bei dem allgemeinen Taylorschen Lehrsatze 

 läfst sich der Rest der Pieihe durch diejenige Entvvickhings - Art, deren sich 

 Servois in zweien, der Pariser Akademie in den Jahren 1S05 und 1809 

 vorgelegten Abhandlungen, und hierauf in einem memoire, unter dem Titel: 

 „Essai sur un nouveau mocle d'ejcposilion des prineipes du calcul diß'erentiel } 

 a JSismes 1S14" bedient, ausdrücken. 



Diese Ausdrücke des Restes der Taylorschen Reihe und der obigen 

 allgemeinen Entwicklungsreihe sind nicht approximativ, sondern genau. 

 Eben deswegen aber müssen sie, wie Ampere in der oben genannten Ab- 

 handlung, S. 169., in Rücksicht der Taylorschen Reihe bemerkt, noth- 

 wendig die Stammgröfse der Reihe, oder den geschlossenen Ausdruck ihres 

 Werthes enthalten, weil z. R. eine transcendente Stammgröfse nicht durch 

 einen algebraischen Rest würde ausgedrückt werden können. Da nun aber 

 öfters die Stammgröfse nicht bekannt ist, sondern nur vielleicht ihre Ablei- 

 tungen oder Differenzen, so sind die Ausdrücke des Restes, auf solche 

 Weise gegeben, nicht zureichend. Man mufs sich vielmehr mit Grenzen 

 begnügen, zwischen welchen der Rest der Reihe nolhwendig enthalten sein 

 mufs. Lagrange hat in der Theorie der analytischen Functionen dergleichen 

 Grenzen für den Rest der Taylorschen Reihe durch bestimmte Integrale 

 gegeben, und Ampere hat die Untersuchung dieser Grenzen in der vorher 

 erwähnten Abhandlung vereinfacht und dieselbe im 1 1"" Hefte des 17 ,C ° Ran- 

 des der Jnnales des mathematiques von Gergonne auch auf Functionen 

 mehrer veränderlichen Gröfsen ausgedehnt. Für den Taylorschen Satz 

 ist also in dieser Reziehung das Nölhigc gethan. Rei der obigen allgemeinen 

 Entwicklungsreihe, oder dem alleemeinen Taylorschen Satze dagegen, sind 

 meines Wissens die Grenzen für den Rest der Reihe noch nicht besonders 

 untersucht worden. Dieses soll in der gegenwärtigen Abhandlung geschehen. 



2. 



Zuerst ist nöthig, den allgemeinen Taylorschen Lehrsatz so zu ent- 

 wickeln, dafs die Reihe den Ausdruck ihres Piesles enthält, welches gewöhn- 

 lich nicht der Fall ist. Dies geschieht, wie folgt: 



Man setze den identischen Ausdruck 



2. F (x + k) = Fa + k ( F(r + f- Ft ) 



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