6 C R e l l E : Grenzen für die Werihe der Reste 



gleichen enthält sie den Ausdruck des Restes. Dieser R.est ist für die Glie- 

 der, die dem n + i" n Gliede nachfolgen : 



k (/■ — «) (* — a«) (* — «« ) ( F(x+ K) - Fx 



2 . 3 . -i «((" 



( F(x + k) — Fx \ 



wo nur zu bemerken ist, dafs wenn man x um a wachsen läfst, zugleich Ä 

 um a abnehmen mufs, so dafs x ■+• Ä unverändert bleibt. 



3. 



Die Herleitung des besonderen Taylorschen Lehrsatzes, z. B. aus 

 dem obigen allgemeinen Ausdrucke, gehört zwar nicht wesentlich zu dem 

 Gegenstande der gegenwärtigen Untersuchung ; da indessen einige ver- 

 wandte Bemerkungen dabei zu machen sind, so wird es gut sein, sie nicht 

 zu übergehen. 



Der insbesondere sogenannte Taylorsche Lehrsatz, nemlich: 



1 2. F(x+k) = Fx + kdFx + -£ d'Fx ■+- ^ d'Fx . . . . + _-*^-— d m Fx .... 



unterscheidet sich von dem obigen allgemeinen dadurch, dafs die Gröfsen 

 dFx, d' Fx etc. keine fremde Gröfse a enthalten, wie die Differenzen AFx, 

 A 2 Fx etc., sondern nur x, und dafs die Coefficienten jener Gröfsen nur 

 Potenzen, nicht Factoriellen mit der Basis k sind. 



Es scheint zwar beim ersten Anblick, dafs man unmittelbar von dem 

 allgemeinen Ausdrucke zu dem besonderen gelangen könne, wenn man a = o 

 setzt, und diejenigen Functionen von x, in welche dann - — — , — r-^-etc. 

 übergehen, durch dFx, d 2 Fx etc. bezeichnet, wodurch dann auch die « 

 in den Coefficienten wegfallen und nur Potenzen von A bleihen. Allein diese 

 Reduction hat einige Schwierigkeiten, weil, wenn die Reihe ins Unendliche 

 fortgeht, und also n unendlich grofs wird, nicht deutlich ist, dafs nothwen- 

 dig auch na Null sein müsse für a = o, auch nicht, was aus dem Reste der 

 der Reihe werde. Es ist daher nöthig, den Übergang des einen Satzes in 

 den andern näher zu erwägen. 



Zu dem Ende ist es gut, zu dem Ursprünge des allgemeinen Satzes, 

 der auf blofs identischen Gleichungen beruht, und daher aufser allem Zwei- 

 fel ist, zurückzukehren. 



