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10 Crelle: Grenzen für die Werthe der Reste 



Die Gröfsen a, n und m sind ganz willkürlich. Nimmt man m un- 

 endlich, so ist z. B. 



dFoc = —. (aFx — — A*Fx + ^-\'Fx — -A"Fx.... ins Unendliche), 



« \ 2 3 4 /' 



und je nachdem alsdann A m fx } A m dfx etc. Null sind, geht der Ausdruck 

 (23) in folgenden über: 



25. F (x+k) = Fjc + MFx + — d-Fx + — d 3 Fx . . . . h — d" Fx 



v .' 2 2.3 2.3....« 



/" + ' ,„ / F(x-hk)— Fx 



,i .... ii 



" ( Fi*-*-*) — Fx \ 



welcher Ausdruck schon die gewöhnliche Form der Taylorschen Reihe hat, 

 und zwar mit Angabe des Restes. Jedoch enthalten noch die Gröfsen dFx, 

 d 2 Fx — d" Fx und d"fx die willkürliche Gröfse a. Sollen daher die Coef- 

 ficienten zu k, — , - — blofs x enthalten, und auf diese Weise in wirk- 

 liche Ableitungen oder Differential -Coefilcienten übergehen, so mufs man 

 a nothwendig gleich Null setzen. Alsdann ist auch, so lange Fx eine stetige 

 Function ist, &"fx gleich o, folglich geht die Gleichung (15) alsdann in 



26. fx = dFx + Ix dfx, 



und folglich, wie aus der obigen Entwicklung zu sehen, das Resultat (23) 



in die Gleichung (25) über. Auch enthalten dann dFx, d'Fx und 



d" Fx nur x, und d" fx nur x und k. Den Werth des ersten Diffcrential- 

 Coefficienten nimmt man gewöhnlich für die Gröfse — — , wenn darin « = o 

 gesetzt wird. Der vollständige Werth ist indessen der (24). Freilich wer- 

 den in der Regel - — — , — etc. gleich Null sein. Allein dafs dieses der 



Fall sei, mufs eigentlich für jeden besonderen Werth von Fx nachgewie- 

 sen werden. 



So also läfst sich der besondere Taylorsche Satz aus dem allgemei- 

 nen Entwicklungs- Ausdruck (10) durch blofse Verwandlung herleiten; auch 

 bekommt man zugleich den Ausdruck des Restes, und es sind dabei die eben 

 gefundenen Bedingungen zu bemerken. 



Man kann zwar den gewöhnlichen Taylorschen Satz, sammt dem Aus- 

 drucke seines Restes, noch viel kürzer, mittelbar, und ohne von dem allge- 

 meinen Satze auszugehen, auch ohne, wie Lagrange, die Form der ganzen 

 Reihe vorauszusetzen, wie folgt finden. 



