12 Ckelle: Grenzen für die JFerthe der Reste 



(Fz = Fx -f- p (e — x) 

 = d Fx -f- (s — x) dp — p 



. = d 2 Fx + (s — x) d 2 p — idp 

 o = d 3 Fx + (£ — x) d i p — sd 2 p 





Daraus folgt: 



o = d" Fx + (e — x) d"p — nd" 'p 



Fe = Fx ■+■ (s — x) p 



p = dFx ■+■ (e — x) dp 



dp = -i- d°- Fx -\- ~ (e — x) d 2 p 



d 2 p = -L d' Fx -+- 4- (e — x) d 3 p 



d" 'p = ■ — d" Fx -\ (s — x) d" />. 



' n n v ' ' 



Substituirt man diese Gleichungen der Reihe nach in einander, so erhält man: 



Fe = Fx + (e — x) dFx -+- (e ~* Y d 2 Fx + ( *~f* d 3 Fx 



■+■ - — d Fx ■+■ d p, oder : 



,i....n 2.3 '2 



32. F (x+/) = Fx + kdFx + 4^ d 2 Fx -+- ~ d'Fx -+- „ * g d" Fx 



1.3 » 



/ F(.r-H*) — F.r \ 



Dieses ist ebenfalls die gewöhnliche Taylorsche Reihe mit dem Ausdrucke 

 des Restes. Allein bei dieser Art der Entwicklung mufs bewiesen werden, 

 dafs die Gleichung (27), von welcher sie ausging, gesetzt werden könne, 

 nemlich, dafs — "*" / ~ '' nothwendig für k = eine Function von x ist. 

 Der Reweis dieses Umstandes von Ampere, in dem oben genannten memoire, 

 zeigt, dafs damit ebenfalls Schwierigkeiten verbunden sind. Also scheint die 

 obige Herleitung des besonderen Taylorschen Satzes aus dem allgemeinen, 

 nicht ohne Interesse zu sein , um so weniger, da sie den gehörigen Gang 

 vom Allgemeinen zum Besonderen geht, und zugleich die Bedingungen an- 

 zeigt, welchen der Satz unterworfen ist. 



Es giebt bekanntlich noch mehrere Arten, die Taylorsche Reihe so- 

 wohl als den obigen allgemeinen Differenzen -Ausdruck zu finden. Die obige 

 Art scheint aber deshalb die natürlichste und evidenteste, weil sie blofs auf 



