der allgemeinen Entwicklungsreihe mit Differenzen. 13 



identischen Gleichungen beruht. Man hat der Lagrangeschen Entwick- 

 wicklung des Tavlorschen Satzes vorgeworfen, dafs sie die Form der Reihe 

 voraussetze. Diese Erinnerung ist zwar nach meiner Meinung ungegründet, 

 weil die vorausgesetzte Form einer Reihe gerechtfertigt wird, sobald man 

 ihre Coefficienten findet. Das obige einfache Verfahren entgeht indessen 

 auch dieser Erinnerung. Auch lassen sich, wie im Vorbeigehen zu bemer- 

 ken, durch die Methode, von einer identischen Gleichung auszugehen, noch 

 mehrere andere Entwicklungen finden. So wie z. B. oben die identische 

 Gleichung 



F (x + k) = Fx + k ( *■<«-**>-*») 



gesetzt wurde, kann man auch z. B. 



F (x+i) =Fx + k~ ( F( ^ ) ~- F '°) oder: 



u. s. w. setzen, welches andere Entwicklungsreihen giebt. 



4. 



Nachdem nun die allgemeine Taylorsche Reihe mit ihrem Reste ent- 

 wickelt worden, sind, der vorgesetzten Aufgabe gemäfs, Grenzen für den 

 Werth des R.estes zu suchen. 



Es sei \^x eine beliebige Function von x, die in dem Umfange von x 

 bis x-t-k stetig ist; a sei eine willkürliche Gröfse, und ?na = k, so ist, der 

 gewöhnlichen Bezeichnung der Differenzen gemäfs: 



(\^ (x ■+■ a) — -J/x = A\^x 



Y^ (x -+- 2a) — \|/ (x + a) = A\J/ (x + a) 

 33. J-Js (x _j_ 3a ) — v|y (x -f- 2a) = A\|/ (x -+- 2a) 



[y (x •+■ m a) — \f< (x -+- (m — l) u) = Ay (x ■+■ Qn — l) a) 



Die Summe dieser Gleichungen ist : 



\t (x + m a) — ypx == A\t x ■+■ Ai£/ (x -4- «) -+- A^/ (x •+- 2 a) 



+ A\J/ (x + (/« — i) «), 



oder weil ma=k sein sollte: 



