14 Crelle: Grenzen für die Werthe der Reste 

 . •J/(x + k) — 4'k Av|a;-t- AvL (x-hct)-+- A\]s(x — 2«) -4-Avi (x-j-(m—Qci) 



Man setze : 



35. A\^r + ±4/ (x-+-u) + A\J/ (x -+- (/« — l) «) = rai^ (x + \xa), 



so ist leicht zu sehen, dafs die Gröfsen A-J/x, A%^ (x-\-a), A-J/ (o: + 2a) etc. 

 weder alle gröfser, noch alle kleiner sein können, als A\|/ (x -+- jj. a) ; denn 

 in beiden Fallen fände, weil m dergleichen Gröfsen vorhanden sind, die vor- 

 ausgesetzte Gleichung nicht Statt. Also folgt, dafs A\p (x + fj.ct) nothwendig 

 zwischen der gröfsten und der kleinsten unter den Gröfsen A\i/«, A\|/ (x-\-a), 

 A\£ (x + 2a) etc. liegen mufs. Da nun diese Gröfsen nichts Anderes sind, 

 als die verschiedenen Werthe welche A^px annehmen kann, von x bis x-i-k, 

 weil a willkürlich ist, und so klein angenommen werden kann, als man will, 

 so folgt, dafs A\|/ (x + |ua) nothwendig zwischen dem gröfsten und dem klein- 

 sten Werthe von A\|/a.' liegen mufs, von x bis x -f- k. Nun ist aber zufolge 

 der Gleichungen (34 und 35) : 



. -I- (x -+- fc) — \i fr Avj (x-+-iJ. ct) m 



o . .— — , 



k a 



also folgt, weil eben gezeigt worden dafs Ftt ^ nothwendig zwischen dem 



gröfsten und dem kleinsten Werthe von — y- liegt, dafs auch - x+ ')~^ :i noth- 

 wendig zwischen eben diesen gröfsten und kleinsten Werthen von — ^- 



A ' r * 



enthalten sein mufs. Der Satz seht für a=o, weil alsdann — — nichts Anderes 

 ist, als die erste Ableitung (der erste Diffcrentialcoefficient) von \|/jt, in die- 

 sem besonderen Falle, in denjenigen über, welchen Ampere in der ange- 

 führten Abhandlung auf andere Art bewiesen hat, nemlich in den Satz, dafs 

 A- immer kleiner ist als der gröfste, und gröfser als der kleinste 



Werth, den der Diffcrentialcoefficient d-J/x haben kann, in dem Umfange 

 von x bis x ■+- k. Der allgemeine Satz, nebst dem besonderen Falle bei Am- 

 pere, ist auch geometrisch, durch Anschauung einzusehen. Wenn nemlich x 

 die Abscissen , und -J/x die zugehörigen rechtwinkligen Coordinaten einer 

 Curve in der Ebene bezeichnen, die von x bis x + A stetig ist, so ist ' r+ /. ) ~ V ' r 

 die trigonometrische Tangente des Winkels, welchen die Sehne durch zwei 

 beliebige Punkte der Curve, deren Abscissen um k verschieden sind, mit 

 der Axe der x macht, hingegen ■ oder - v ^ +a )~^ x j st f ]j e trigonome- 



trische Tangente des Winkels, welchen die Sehne durch zwei beliebige, 



