16 Crelle: Grenzen für die JVerthe der Reste 



oder: 



o = AFjc 



+ A±L A 2 .F.r — AFx 



a 



(A_„) (£-2«) ■ ■ ■ ■ (*-««) A .-n^ '(*-") (*~ 2«). ...(*-(«-!) ») ^.jj^ 

 2.3 n «" " 2.3 (« — 1) «" - ' 



_ r t(Ä-«)....(Ä- B «) / F(^ + A)-^ \-i 



"*" L 2.3 n«" V Ä /J' 



oder, weil wie man sieht alle Glieder bis auf das letzte und vorletzte sich 

 aufheben : 



37. o= (*-"H*-3"> (*-""> a^'^ 



2.3 II u 



Man setze : 



r *(*-«).... (*-««) A „ / F(.r-M)-F.r yi 



2.3 na" \ h /J' 



*(*—«) (*— 2«) (*— na) /F(x-hk)—Fx\ _ 



3S. -v -w ■^••••■v , A 



2.3. 



/F(.r-M) — Fx\ . 



so dafs \^.r den Rest der Reihe (10), und zufolge der Gleichung (37): 

 30 _ * A ^* _ x ( x ~ ") (* — 2") • • • • (* — ««) A „ + , „ 



ist, so ist, wenn man a- + ä statt .r setzt, \^ (■*' + £) = o; denn £ ist so viel 

 als x + k — x = s — -*% und e soll unverändert bleiben ; also ist, wenn man 

 x -+■ k statt x setzt, £ = o, und folglich die Gröfse linker Hand in (3S), und 

 mithin \J/ (& + k) gleich Null. Die Gröfse ^ f ' r+ A . ) ~ x ist also so viel als 



Vorhin ist aber gezeigt, dafs für eine beliebige Function -v^ä- die Gröfse 



^"V~ rJ immer zwischen dem gröfsteü und dem kleinsten VYerthe von 



A- , ö * 



liegt. Also liegt hier ^ß- zwischen dem gröfsten und dem kleinsten Werthe 



von— — , und folglich \l-cr zwischen dem gröfsten und dem kleinsten Werthe 



von — — . Den Werth dieser letzten Gröfse giebt die Gleichung (39), 



und, verglichen mit (10), sieht man, dafs sie gleich dem n + l fachen Werthe 

 des ersten weggelassenen Gliedes , oder des ersten Gliedes im Reste ist. 

 Also findet man folgenden Satz : 



