der allgemeinen Entwicklungsreihe mit Differenzen . 17 



,,Der gröfste und der kleinste Werth des ersten weggelasse- 

 nen Gliedes, z. B. des « -f- i l€ " Gliedes der allgemeinen Tay- 

 , ,lorschen Reihe, oder des ersten Gliedes im Pieste, n -f- 1 mal 

 „genommen, sind Grenzen für den Werth des Restes." 



Da a willkürlich ist, und folglieh Alles auch gilt, -wenn a = o ist, in 

 welchem Falle der allgemeine Taylor sehe Satz in den gewöhnlichen Satz 

 dieses Namens übergeht, so folgt, dafs auch in der gewöhnlichen Tavlor- 

 schen Pveihe 



,, der gröfste und der kleinste Werth des erste 71 weggelassenen, 

 ,,z. B. des n ■+- 1"° Gliedes, oder des ersten Gliedes im Reste, 

 ,,« + 1 mal genommen, Grenzen für den Werth des Restes sind." 

 Diese Grenzen sind, wie es verlangt wurde, nicht durch die Stamm- 

 gröfse, sondern bei dem allgemeinen Tavlorschen Satze durch die Diffe- 

 renzen, und bei der gewöhnlichen Taylorschen Pveihe durch die Ablei- 

 tungen gegeben. 



D. 



Auf folgende Weise lassen sich aber noch engere Grenzen finden. 



Man setze, die Gröfse — — habe für alle W erlhe von x, von x bis 

 x ■+■ k, das nemliche Zeichen, welches angenommen werden kann, weil die 

 ^ eränderung von x nur auf diesen Umfang beschränkt werden darf, so hat 

 nothwendig — + z- — ~ ebenfalls das nemliche Zeichen ; denn, wie oben be- 

 wiesen, ist diese ( iröfse immer zwischen dem grc">fsten und dem kleinsten Wer- 

 the von x , in deml mfange von x bis x -f- k, enthalten. Also haben auch, 

 weil a und k immer positiv sind, A\!.r und -1 (.r-f-/) — <lx einerlei Zeichen. 



Nun bezeichne man den gröfsten Werth, welchen die Gröfse A" + l Ex 

 in dem Umfange von x bis x -+- k haben kann, durch M, und den kleinsten 

 Werth derselben, in dem nemlichen Umfange, durch i\ . Ferner bezeichne 

 man die Gröfse 



40 * ( * ~ lc) (/c ~ 2a) — (fr ~ " "^ . 1/ 



n et 



k (k — cc) (k — 2c<)....(k — ncc) / F(x + h) —F.r 



+ A -^ - — ^— 11^ A 



durch A</>,.r, und die Gröfse 

 Mathemat. Klasse 1S2S. 



■ / F (*+*"> - Fr Y] 



