IS Crelle: Grenzen für die JVerthe der Reste 



. (k — a)(k — 2a) (k — n a) _ jy 



2.3 II a" 



A r k(k-a)(k-2a)....(k-na) '. , F(x-h&)-Fx yi 

 L 2.3 na" \ k /.J 



durch Acp 2 x, so wird für alle x, von x bis x + k, A</> ( a? nothwendig posi- 

 tiv, und &<p 2 x nothwendig negativ sein; denn die Gröfse 



(k — a) (k — 2a) (k-na) £n+ijp x 



2.3 na" 



+ A [" ^(^— ")(^- 2 ")----^-"") A » / F(ce+A)-Fx \-1 



ist, zufolge der Gleichung (37), für jeden beliebigen Werth von x gleich Null ; 

 also inufs, weil M das gröfste A" + 'Fx bezeichnet, A(p t x nothwendig grö- 

 fser sein als Null, und weil JV das kleinste A" + 'Fx sein soll, Af 2 x noth- 

 wendig kleiner als Null. 



Da nun auf diese Weise alle Werthe von A(p t x und A<p,,x, in dem 

 Umfange von x bis x ■+■ k, einerlei Zeichen haben, so sind diese Differenzen 

 in dem Falle des obigen A-J/x, und folglich ist nothwendig, dem Obigen zu- 

 folge, auch </>, (x+k) — <p,x, in dem Umfange von x bis x + x y immer po- 

 sitiv, und <p 2 (x+k) — <p.,x immer negativ. 



Nun ist: 



42. *(*-«)(*-**) (^^) = -A[ ^^^f--^--^] ; 



denn die Differenz rechter Hand ist, weil k um — a sich verändert, so viel als: 



(k — a) (k — 2a) (k — (n-hi)a) k (/, — a) (k — 2«) (k — na) 



(n -+- 1) « (« + 0" 



(*—>.(*-:<■> (*-»«> C^,-). 



welches der Gröfse linker Hand in (42) gleich ist. 



Man kann also die Gleichungen (41 und 42) wie folgt schreiben: 



43. Art y = \\ k ( *- a) ( *~ g!t) • • • • ( *~"*> A" ( F(x+kS > - Fx \ k ^~ a ) (*-*« ) ■ • • • (*-"») j/1 



L 2.3 »*" V Ä /" 2.1 (« + l)a" +1 J 



und 



44. Ad> <s = A r ^^-»)^- 8 *)----^-"*) A » / F(x+k)- Fx\ _ *(*-*) (£-2«). ...(Ar-*») ^T 



