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Es lassen sich nun folgende allgemeine Satze aufstellen: 



1. Lehrsatz. Die Lage des Ahnliehkeitpuncts für ähnliche Figuren 

 ist völlig gleichgültig, und alle Figuren welche zu einer und derselben gege- 

 benen Figur dasselbe Almlichkeitsverhältnifs haben, sind congruent. 



Beweis. Wenn erstlich die gegebene Figur, sammt denen die ihr 

 ähnlich sind, in einer Ebene liegen, so nehme man zwei beliebige Ahnlich- 

 keitspuncte P und Q willkürlich an, \ind ziehe aus denselben nach zwei be- 

 liebigen Puncten A und B in der Begrenzung der gegebenen Figur gerade 

 Linien. In diesen geraden Linien nehme man Gleichvielfacbe von PA, PB, 

 QA, QB, von P und Q ab, nemlich Pa . = n . PA, Pb = n.PB, Qa 

 = n . QA, Qß = n . QB ; so sind a und b, a und ß Puncte in den beiden, 

 den Ähnlichkcitspuncten P und Q entsprechenden, der gegebenen Figur 

 ähnlichen Figuren. Nun haben aber die geradlinigen Dreiecke APB und 

 aPb, AQB und aQß gleiche Winkel zwischen gleiehproportionirten Seiten; 

 also sind auch die dritten Seiten ab und aß Gleichvielfache von AB, folg- 

 lich ist auch ab = aß. Man nehme ferner einen beliebigen dritten Punct C 

 in der Begrenzung der gegebenen Figur, ziehe die geraden Linien CP und 

 CQ, und nehme in denselben die correspondirenden Puncte c und y der 

 beiden ähnlichen Figuren, so wird wie vorbin bewiesen, dafs auch ac = ay 

 und bc = ßy ist. Also sind in den beiden geradlinigen Dreiecken abc und 

 aßy, in deren Ecken die mit den Ecken des Dreiecks ABC der gegebenen 

 Figur zusammengehörigen Puncte der ähnlichen Figuren liegen , alle drei 

 Seiten die nemlichen. Mitbin sind die Dreiecke abc und aßy congruent, 

 und folglich liegt der Punct c gegen die Puncte a und b eben so, wie der 

 Punct 7 gegen die Puncte a und ß. Was aber von der Lage der dritten 

 Puncte c und y gegen die beiden Puncte a, b und a, ß gilt, gilt auf dieselbe 

 Weise von allen übrigen, mit beliebigen Puncten der gegebenen Figur zu- 

 sammengehörigen Puncten der ähnlicben Figuren. Also liegen alle Puncte 

 der einen ähnlichen Figur gegen die beiden Puncte a und b in derselben 

 eben so, wie die correspondirenden Puncte der anderen ähnlichen Figur ge- 

 gen die den Puncten a und b entsprechenden Puncte a und y in dieser. Und 

 folglich decken sich alle Puncte der beiden ähnlichen Figuren ; mithin sind 

 die beiden Figuren congruent. 



Wenn zweitens die gegebene Figur nicht in einer Ebene liegt, son- 

 dern beliebig im Räume sich befindet, so nehme man zuerst drei beliebige 



