über ähnliche krumme Linien und Flächen. 25 



Puncle A ', B und C in der gegebenen Figur, ziehe aus denselben nach zwei 

 willkürliehen Ahnlichkeilspuncten P und Q gerade Linien, und nehme auf 

 denselben Gleiehvielfache davon, nemlich Pa = n . PA, Pb = n . PB, Pc 

 = n . PC und Qa = n . QA, Qß = n . QB, Qy = n . QC, so sind a, b, c 

 a, Q, y die mit den drei Puncten A, B, C der gegebenen Figur zusammen- 

 gehörigen Puncte zweier ihr ahnliehen Figuren. Die Dreiecke APB und 

 aPb, .AQB und aQß etc. haben aber wieder gleiche AYinkel zwischen gleich- 

 proportionirten Seiten ; also ist auch : 



ab —n . AB, ac = n . AC, bc =t n . BC 

 und aß = n . AB, ay = n . AC, ßy = n . BC. 



und folglich : ab = aß, bc = ßy, ac = ay. 



mithin sind die Dreiecke abc und aßy congruent. Nun nehme man einen 

 beliebigen vierten Punct D in der Begrenzung der gegebenen Figur, ziehe 

 die Ahnlichkeitslinien DP und DQ, und nehme auf denselben dP = n . DP 

 und 3Q = n . DQ, auf die ^\eise, dafs d und £ die mit D zusammengehö- 

 rigen Puncte der beiden, der gegebenen ähnlichen Figuren sind; so folgt, 

 ganz wie vorhin, dafs auch die Dreiecke abd und aß&, acd und ayB, bcd 

 und ßy& congruent sind. In den beiden von vier Dreiecken eingeschlosse- 

 nen Pyramiden abcd und ui3y& sind also alle vier Seiten-Ebenen die nein- 

 lichen, und folglich sind die beiden Pyramiden congruent. Daraus folgt, 

 dafs der Punet d gegen die drei Puncte a, b und c ganz eben so liegt, wie 

 der Punct & gegen die drei Puncte a, ß, y. Was aber nun von den Puncten 

 d und ^ gilt, gilt auch von allen übrigen, mit beliebigen Puncten der gege- 

 benen Figur zusammengehörigen Puncten der ähnlichen Figuren. Also lie- 

 gen alle Puncte der einen ähnlichen Figur gegen die drei Puncte a, b, c eben 

 so, wie die correspondirenden Puncte der anderen ähnlichen Figur gegen die 

 den Puncten a, b, c entsprechenden Puncte a, ß, y in dieser. Und folg- 

 lich decken sich alle Puncte der beiden ähnlichen Figuren, und mithin sind 

 die beiden Figuren congruent. 



Alle einer und derselben gegebenen Figur, in der Ebene oder im 

 Räume, ähnliche Figuren mit demselben Ahnlichkeitsverhältnifs sind also 

 congruent, und folglich ist die Lage des Ahnlichkeitspunctes, bei einerlei 

 Ahnlichkeitsverhältnifs, völlig gleichgültig. 



Mathemat. Klasse 1828. D 



