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2. Lehrsatz. Alle in ähnlichen Figuren ähnlich liegenden geraden 

 Linien und Ebenen machen mit einander die neinlichen Winkel, die Ebenen 

 sind einander ähnlich und die Linien von einander Gleichvielfache, in der 

 Zahl des Ahnlichkeitsverhältnisses ; die Figuren selbst sind proportionirt. 

 Also alle Seiten, Diagonalen und andere ähnlich liegende Linien in ähnlichen, 

 geradlinigen oder von Ebenen eingeschlossenen Figuren, oder die ähnlich 

 liegenden Ebenen in ähnlich liegenden Polyedern machen mit einander gleiche 

 Winkel, und die Ebenen, z. B. die Seiten -Ebenen der Polyeder, sind ein- 

 ander ähnlich, und die Linien von einander Gleich vielfache, von der Zahl 

 des Ahnlichkeitsverhältnisses. 



Der Beweis ist demjenigen des vorigen Lehrsatzes ganz analog, und 

 liegt zum Theil schon in demselben. Er darf daher, um abzukürzen, über- 

 gangen werden. 



3. Lehrsatz. Die Gleichungen aller, einer und derselben Figur 

 ähnlichen Figuren, sei es zwischen Coordinaten aus einem Puncte, oder 

 zwischen rechtwinkligen oder anderen Coordinaten, sind mit der zugehöri- 

 gen Gleichung der gegebenen Figur von einerlei Ordnung. 



Beweis. Da nach dem ersten Lehrsatze die Lage des Ahnlichkeits- 

 pnnctes willkürlich ist, so kann man auch den Anfangspunct der Coordina- 

 ten dazu nehmen. Es ist leicht zu sehen, dafs alsdann alle Linien in dem 

 Coordinaten -Systeme der gegebenen und der ihr ähnlichen Figuren, für zu- 

 sammengehörige Puncte der Figuren , ähnlich liegende Linien , und alle 

 Winkel der Systeme für solche Puncte gleich sind. Wenn also diese oder 

 jene Linien des Coordinaten -Systems der gegebenen Figur durch x, y, s.... 

 und die entsprechenden Linien der Coordinaten- Systeme der ähnlichen Fi- 

 guren, für zugehörige Puncte, durch x t , jr t , z t bezeichnet werden, 



und das Ahnlichkeitsverhältnifs wird wie oben durch n bezeichnet, so ist 



x, = n x, j\ = nj, z t = nz und die Winkel der Systeme sind gleich. 



Also werden die Gleichungen der ähnlichen Figuren aus der Gleichung der 

 gegebenen Figur durch Elimination der Coordinaten der letzteren zwischen 

 ihrer Gleichung und zwischen Gleichungen von der ersten Ordnung ge- 

 funden ; und da nun die Ordnungszahlen von Gleichungen, welche das Re- 

 sultat der Elimination zwischen beliebigen Gleichungen sind, der Piegel 

 nach, den Producten der Ordnungszahlen der Gleichungen gleich sind, zwi- 

 schen welchen die Elimination geschiehet: so sind die Gleichungen der ahn- 



