über ähnliche krumme Linien und Flächen. 27 



liehen Figuren von der nemlichen Ordnung, wie die Gleichung der gege- 

 benen Figur. 



Hieraus folgt z. B., dafs die einer geraden Linie oder einer Ebene 

 ähnliehe Figuren wieder gerade Linien und Ebenen sind, dafs die einer Linie 

 und Fläche zweiter Ordnung ähnliche Linien und Flächen, zweiter Ordnung 

 sind, und es ist leicht zu zeigen, dafs einem Kreise wieder Kreise, einer Ku- 

 gel wieder Kugeln, einer Ellipse wieder Ellipsen u. s. w. ähnlich sind. 



4. Lehrsatz. Die geraden Linien, welche ähnliche Curven in der 

 Ebene, und die Ebenen, welche Curven doppelter Krümmung und Flächen 

 berühren, sind für zusammengehörige Puncte parallel. 



Beweis. Man nehme in einer gegebenen ebenen Curve zwei belie- 

 bige Puncte A und B, und lege durch dieselben eine Sehne AB, desgleichen 

 durch die zugehörigen Puncte a und b der ähnlichen Curve die Sehne ab, 

 so schliefsen diese Sehnen mit den Ahnlichkeitslinien AP, BP und aP, bP 

 (wenn P den Ahnlichkeitspunet bezeichnet), vermöge der Bedingung der 

 Ähnlichkeit der Curven, ähnliche Dreiecke ein, mit einerlei Spitze und einer- 

 lei Schenkeln, und sind also parallel. Die Sehnen AB und ab gehen aber 

 in die Tangenten in A und a über, wenn B nach A, und folglich b nach a 

 rückt, und zuletzt B in A und b in a fällt. Also sind auch die Tangenten 

 an A und a, das heifst an zusammengehörigen Puncten ähnlicher ebener 

 Curven, parallel. 



Ferner nehme man in einer gegebenen Curve doppelter Krümmung, 

 oder in einer gegebenen krummen Fläche, drei beliebige Puncte A, B und C 

 an, und lege durch dieselben eine Ebene ABC, desgleichen durch die zu- 

 gehörigen Puncte a, b und c der ähnlichen Figur, die Ebene abc, so schlie ■ 

 fsen diese Ebenen mit den Ebenen durch den Ahnlichkeitspunet und durch 

 AB, ab, BC, bc und CA, ca, wie nach Art des Beweises des ersten 

 Lehrsatzes leicht zu zeigen, ähnliche dreiseitige Pyramiden mit gemeinschaft- 

 licher Spitze und gemeinschaftlichen Seiten -Ebenen ein. Folglich sind die 

 Ebenen ABC und abc parallel. Diese Ebenen gehen aber in diejenigen 

 über, welche die gegebene und die ähnliche Curve, oder Fläche, in A und a 

 berühren, wenn B und C nach A, und b und c nach a rücken und zuletzt 

 in A und a fallen. Also sind auch die Ebenen, welche die gegebene und 

 die ihr ähnliche Curve oder Fläche in zusammengehörigen Puncten berüh- 

 ren, parallel. 



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