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5. Lehrsatz. Die Krümmung s -Halbmesser einer gegebeneu 

 Curve in der Ebene und der ihr ähnliehen Curven sind parallel, und stehen, 

 ihrer Grofse nach, in dem Ahnliehkeitsverhaltnifs der Curven. Auch sind 

 die Evoluten ähnlicher Curven ebenfalls ähnliche Curven. 



Analoge Sätze finden in Rücksicht der zwiefachen Berührungskugeln 

 und Krümmungs -Halbmesser gegebener krummer Flächen und derer, die 

 ihnen ähnlich sind, Statt. 



Beweis. Man nehme in einer gegebenen ebenen Curve drei belie- 

 bige Puncte <-/, B, C, und lege durch dieselben einen Kreis, dessen Mittel- 

 punct M sein mag; desgleichen durch die zugehörigen Puncte a, b, c der 

 ähnlichen Curve einen Kreis, dessen Miltelpunct m bezeichnen soll. Da M 

 und m in dem gemeinschaftlichen Durchschnitte der Perpendikel auf AB, 

 BC, CA und ab, bc, ca durch die Mitten dieser Seiten liegen, und AB 

 und ab, BC und bc, CA und ca, also auch die Perpendikel darauf, parallel 

 sind, desgleichen ab = n . AB, bc = n.BC, ca — n. CA ist, wenn man 

 das Ahnliehkeitsverhaltnifs der Curve durch n bezeichnet ; so ist leicht zu 

 sehen, dafs auch die Linien AM und am, BM und bin, CM und cm parallel 

 sind, und dafs am = n .AM, bm = n . BM, cm = n . CM ist. Wenn nun 

 aber die Puncte B und C nach A zu rücken und zuletzt in A fallen, so ge- 

 hen AM und am in die Krümmungs -Halbmesser der Curven über, und folg- 

 lich sind auch diese parallel und stehen, ihrer Grofse nach, in dem Ahnlieh- 

 keitsverhaltnifs der Curven. 



Ferner folgt daraus dafs z. B. AM und am parallel sind, und dafs 

 am = n. AM ist, unmittelbar, dafs M und m, d. h. die Mittelpuncte der 

 Krümmung der gegebenen Curve und der ihr ähnlichen Curve, mit dem Ahn- 

 lichkeitspunct P in gerader Linie liegen, und dafs Pm = n . PM ist ; und 

 dieses gilt von allen Mittelpuncten der Krümmung. Die Evoluten der ge- 

 gebenen und der ihr ähnlichen Curven sind nun aber die geometrischen Orte 

 der Mittelpuncte der Krümmung der beiden Curven, oder die geometrischen 

 Orte der Puncte 31 und der Puncte m. Also stehen auch die Entfernungen 

 aller zusammengehörigen Puncte der beiden Evoluten vomAhnlichkeitspuncte 

 in dem Ahnliehkeitsverhaltnifs der Curven, während die genannten Puncte 

 in gerader Linie durch den Ahnlichkeitspunct liegen; und folglich sind auch 

 die Evoluten ähnlicher Curven ähnlich. 



