über ähnliche krumme Linien und Flächen. 29 



Die Beweise der analogen Sätze von den Berührungs - Kugeln und 

 Krümmungs - Halbmessern ähnlicher krummer Flachen gleichen wiederum 

 den vorigen. 



b. Lehrsatz. Die Länge eines beliebigen Bogens einer Curve und 

 derjenigen Bogen der ihr ähnlichen Curven, welche zwischen einerlei Ahn- 

 lichkeitslinien mit jenen liegen, stehen in dem Ahnlichkeitsverhältnifs der 

 Curven. Eben so die Flächen -Inhalte "derjenigen Theile einer krummen 

 Fläche und der ihr ähnlichen Flächen, welche von den durch beliebige 

 Ahnlichkeitslinien gebildeten Kegelmänteln eingeschlossen sind. 



Beweis. Man nehme für eine beliebige Curve in der Ebene Coordi- 

 naten aus einem Puncte, und zwar aus dem Ahnlichkeitspuncte , und be- 

 zeichne sie durch /• und (/>, so ist die erste Ableitung (das erste Differential) 

 der Länge eines Bogens der gegebenen Curve gleich ](/V (/>"-{- <//■"), und 

 die erste Ableitung der Länge eines zugehörigen Bogens der ähnlichen Curven, 

 weil die Coordinaten für dieselben nr und <p sind, gleich ) ■'(«' /•" d <p 2 -+- n~ d '/•'"), 

 gleich n \'{r 2 d<p 2 -\- dr~). Die ersten Ableitungen stehen also in dem Ahn- 

 lichkeitsverhältnifs n der Curven. Folglich stehen auch, weil n eine unver- 

 änderliche Gröfse ist, die Stammgrüfsen (Integrale) davon, welche die Län- 

 gen der Bogen selbst sind, in dem nemlichen Verhältnifse, in so fern man, 

 was immer angeht, den Anfang des Winkels <p so nimmt, dafs die zu den 

 Stammgrüfsen gehörigen Constanten Null sind. Mithin stehen die Längen 

 der Curvenbogen in dem Ahnlichkeitsverhältnifs der Curven selbst. 



Auf ähnliche Art lassen sich die analogen Sätze für Curven doppelter 

 Krümmung und für Flächen beweisen. 



7. Lehrsatz. Die Fläche zwischen einem beliebigen Bogen einer 

 Curve und den ihn begrenzenden Ahnlichkeitslinien steht zu der Fläche zwi- 

 schen dem zugehörigen Bogen einer ähnlichen Curve und den nemlichen 

 Ahnlichkeitslinien im quadratischen Ahnlichkeitsverhältnifs der Curven. Lnd 

 der körperliche Raum zwischen einem beliebigen Theile einer krummen Fläche 

 und dem ihn begrenzenden, von Ahnlichkeitslinien gehildeten Kegelmantel, 

 steht zu dem körperlichen Räume zwischen dem zugehörigen Theile der ähn- 

 lichen Fläche und dem nemlichen Kegelmantel im cubischen Ahnlichkeits- 

 verhältnifse der Flächen, woraus auch leicht die Verhältnisse der benannten 

 Flächen und körperlichen Räume für rechtwinklige und andere Coordinaten 

 Systeme gefunden werden. 



