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Beweis. Man nehme, wie oben, für eine beliebige Curve in der 

 Ebene Coordinaten r und <p aus dem Ähnlichkeitspuncte, so ist die erste 

 Ableitung der zwischen einem beliebigen Bogen der Curve und den ihn be- 

 grenzenden Ahnlichkeitslinien liegenden Fläche gleich ~ r"d<p, hingegen die 

 erste Ableitung der zugehörigen Fläche für die ähnliche Curve ist, weil ihre 

 Coordinaten nr und <p sind, 4" ?i"r'd(p. Also stehen diese Ableitungen in 

 dem Verhältnifs n~ zu einander. Und da nun n eine unveränderliche Gröfse 

 ist, so wird es sich eben so mit den Stammgröfsen dieser Ableitungen, welche 

 die Flächen selbst avisdrücken, verhalten; und folglich stehen diese Flächen 

 in dem quadratischen Ahnlichkeitsverhältnifse der Curven. 



Auf ähnliche Art lassen sich die analogen Sätze für Curven doppelter 

 Krümmung und für Flächen beweisen. 



8. Lehrsatz. Gerade Linien und Ebenen sind mit den ihnen 

 ähnlichen geraden Linien und Ebenen, für jede beliebige Lage des Ähnlich- 

 keitspuncts, und Kreise und Kugeln mit den ihnen ähnlichen Kreisen 

 und Kugeln, dann wenn der Ahnlichkeitspunct im Miltelpuncte der Kreise 

 und Kugeln liegt, parallel. Andere Linien und Flächen sind mit den ih- 

 nen ähnlichen Linien und Flächen für eine beliebige Lage des Ahnlichkeits- 

 puncts nicht nothwendig parallel. 



Beweis. Linien und Flächen sind dann parallel, oder äcpiidistant. 

 wenn alle Normalen der einen zugleich Normalen der anderen, und von einer 

 bis zur anderen gleich lang sind. (Ich habe eine allgemeine Theorie der 

 parallelen Curven und Flächen im 2"° Bande meiner Sammlung mathema- 

 tischer Aufsätze und Bemerkungen, Berlin bei Maurer, 1S22, und im l SIeu 

 Stücke des 12'™ Bandes der Annales des maihematiques von Gergonne zu 

 geben versucht). Nun wird diese Bedingung von ähnlichen geraden Linien 

 und Ebenen, immer erfüllt, weil die Perpendikel auf dieselben nicht al- 

 lein für die zusammengehörigen Puncte, sondern zugleich für alle Puncte, 

 unter einander parallel sind. Also sind ähnliche gerade Linien und Ebenen 

 für jede Lage des Ähnlichkeitspuncts nothwendig parallel. Ferner wird sie 

 erfüllt für ähnliche concentrische Kreise und Kugeln, weil in denselben die 

 Perpendikel für zusammengehörige Puncte in einander, neinlich in die Ahn- 

 lichkeitslinien selbst fallen, und zugleich die Ahnlichkeitslinien, und folg- 

 lich 3uch ihre Unterschiede alle gleich lang sind ; mithin sind auch ähnliche 

 concentrische Kreise und Kugeln parallel. Für alle übrigen Curven und 



