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seine Schlüsse zu gründen , führte aber nicht zur wahren Erkenntnifs dieser 

 verborgenen Eigenschaft, sondern nur ziemhch nahe bei derselben vorbei, 

 weil die Convergenz dieser Reihen in gewissen Fällen auch von der beson- 

 deren Art und Weise abhängig ist, wie die positiven und negativen Glieder 

 derselben sich gegenseitig aufheben. Aus diesem Grunde untersuchte Diri- 

 chlet, auf den ursprünglichen Begriff der Convergenz der unendlichen Rei- 

 hen zurückgehend , den Gränzwerth welchen die Summe einer Anzahl Glie- 

 der erreicht, wenn diese Anzahl in's Unendliche wachsend angenommen wird, 

 und diese Frage ergründete er vollständig, mittelst der genauen Bestimmung 

 des Gränzwerthes eines einfachen bestimmten Integrales, welches, wegen der 

 vielfachen Anwendungen die es gestattet, seitdem zu den Grundlagen der 

 Theorie der bestimmten Integrale gerechnet wird. 



Nach derselben Methode und mit denselben Mitteln hatDirichlet 

 auch die allgemeinere und complicirtere Untersuchung der Convergenz der 

 nach Kugelfunktionen geordneten Entwickelung einer willkürlichen Funktion 

 zweier unabhängigen Variabein durchgeführt, wobei es überdiefs nur noch 

 darauf ankam, den Ausdruck der Kugelfunktionen durch bestimmte Integrale 

 in der Art passend zu wählen, dafs die Summe einer unbestimmten Anzahl 

 der ersten Glieder dieser Entwickelung, deren Coefficienten als Doppel- 

 integrale gegeben sind, möglichst einfach und in einer Form sich ergab, in 

 welcher der Gränzwerth derselben mittelst des gefundenen Gränzwerthes 

 jenes einfachen Integrales leicht bestimmt werden konnte. 



Nicht blofs die specielle Theorie dieser beiden Arten von Reihen- 

 entwickelungen , sondern auch die allgemeine Theorie der unendlichen Rei- 

 hen, fand Dirichlet in einigen wesentlichen Punkten noch unbegründet vor. 

 Man wufste zwar, dafs divergente Reihen keine bestimmten Werthe haben, 

 aber man übertrug die für endliche Reihen giltigen Regeln und Schlüsse 

 immer noch in zu naiver Weise auf die unendlichen Reihen, imd man hatte 

 nie daran gedacht, dafs selbst die elementarste Regel, nach welcher eine jede 

 algebraische Summe von der Ordnung ihrer Theile xmabhängig ist, für die, 

 aus unendlich vielen Theilen bestehenden Summen aufhören könnte richtig 

 zu bleiben, bis Dirichlet nachwies, dafs es eine Klasse convergenter Rei- 

 hen mit positiven und negativen Gliedern giebt, welche andere Werthe er- 

 halten und sell)st divergent werden können, wenn nur die Reihenfolge ihrer 

 Glieder geändert wird. Die hierdurch gewonnene tiefere Einsicht in das 



