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gewisser allgemeiner Gattungen, auf anderen Wegen noch ganz unzugängli- 

 cher Probleme der Arithmetik mit Nothwendigkeit ergeben niufs. Diese 

 Dirichletschen Methoden sind für die Zahlentheorie in ähnlicher Weise 

 Epoche machend, wie die De scart esschen Anwendungen der Analysis für 

 die Geometrie, sie würden auch, eben so wie die analytische Geometrie, als 

 Schöpfung einer neuen mathematischen Disciplin anerkannt werden müssen, 

 wenn sie sich nicht blofs auf gewisse Gattungen, sondern auf alle Probleme 

 der Zahlentheorie gleichmäfsig erstreckten. 



Die erste Anwendung, welche Dirichlet von seiner neuen Methode 

 gemacht hat, betrifft den sehr einfachen Satz: dafs jede arithmetische Reihe, 

 deren Glieder nicht alle einen gemeinschaftlichen Faktor haben, imendlich 

 viele Primzahlen enthält, welcher wegen seines ganz elementaren Charakters 

 in vielen arithmetischen Untersuchungen von grofser Bedeutung ist, und na- 

 mentlich auch in dem ei-sten von Legendre versuchten Beweise des qua- 

 dratischen Reciprocitätsgesetzes nur als ein unbewiesenes Resultat gebraucht 

 worden war. Die eigenthümliche Art, wie Euler aus der Verwandlung eines, 

 nur die Primzahlen enthaltenden , Pi'odukts in eine divergente unendliche 

 Reihe, geschlossen hatte, dafs die Anzahl aller Primzahlen unendlich grofs 

 ist, gab Dirichlet die Veranlassung zur allgemeineren Anwendung der un- 

 endlichen Reihen und unendlichen Produkte, und indem er diese analyti- 

 schen Hülfsmittel dem Zwecke seiner Untersuchung gemäfs einzurichten 

 suchte, gelangte er zu dem Fundamentalsatze seiner neuen Methode, wel- 

 cher den Gränzwerth einer allgemeinen Reihe von Potenzen positiver, ab- 

 nehmender Gröfsen bestimmt, deren gemeinschaftlicher Exponent sich der 

 Gränze Eins nähert. Die Anwendung auf den Beweis des Satzes über die 

 arithmetische Reihe erfordert die Entwickelung einer bestimmten Gruppe 

 von unendlichen Produkten in unendliche Reihen, und es kommt alsdann 

 darauf an, zu beweisen, dafs das Produkt dieser unendlichen Reihen imend- 

 lich grofs wird, wenn der gemeinschaftliche Potenzexponent aller Glieder 

 sich dem Gränzwerthe Eins nähert. Da der ei'ste Faktor dieses Produkts 

 nach dem angegebenen Fundamentalsatze nothwendig unendlich grofs wird, 

 so kommt es ferner nur darauf an zu zeigen, dafs das Produkt aller übrigen 

 Faktoren nicht gleich Null werden kann. Obgleich diese unendlichen Reihen 

 mittelst Logarithmen imd Kreisbogen sich in endlicher Form summiren las- 

 sen, so bot die vollständige Erledigung dieses wichtigen Punktes, namentlich 



