Gedüchlnifsrede auf Lcjeune-Dlrichht. ■ 19 



für (Jen Fall, wo die Differenz der arilhmetischen Reihe eine zusammenge- 

 setzte Zahl ist, sehr bedeutende Schwierigkeiten dar, welche Dirichlet in 

 der ersten Bearbeitung dieser Untersuchung nur durch sehr complicirte und 

 indirecte Betrachtungen halte überwinden können ; aber grade diese Schwie- 

 rigkeit wurde ihm die Veranlassung zu einer zweiten Anwendung der Ana- 

 Ijsis auf Zahlentheorie , in welcher eine seiner bedeutendsten und glänzend- 

 sten Entdeckungen, nämlich die Bestimmung der Klassenanzahl der quadrati- 

 schen Formen, für eine jede gegebene Determinante, enthalten ist. Die 

 Schwierigkeit der ersten Untersuchung wurde durch diese zweite auf die ein- 

 fachste Weise erledigt, indem sie von selbst ergab, dafs jenes Produkt nicht 

 gleich Null sein kann, ohne dafs zugleich die Klassenanzahl der quadratischen 

 Formen gleich Null sein niüfste. 



Die Bestimmung dieser Klassenanzahl beruht auf der Betrachtung der 

 doppelt unendlichen Summe, deren allgemeines Glied die Einheit, dividirt 

 durch eine Potenz einer quadratischen Form ist, deren Exponent der Eins 

 unendlich nahe genommen wird. Diese Summe, welche sich auf alle ganz- 

 zahligen Werlhe der beiden unbestimmten Veränderlichen, mit gewissen Ein- 

 schränkungen, und aiif alle nicht äquivalenten Formen derselben Determi- 

 nante erstreckt, wird auf zwei verschiedenen Wegen bestimmt, einmal in- 

 dem die repräsentirenden Formen sämmtlicher Klassen zusammengefafst, das 

 anderemal indem sie einzeln betrachtet werden. Da die Summe für jede 

 dieser Klassen denselben W^ei-th erhält, so ergiebt sich die Gesammtsumme 

 gleich einer solchen Einzelsumme, multiplicirt mit der Klassenanzahl. Die 

 Form , in welcher der hierdurch gewonnene Ausdruck der Klassenanzahl 

 schliefslich sich darstellt, ist für negative und für positive Determinanten 

 wesentlich 'verschieden , und offenbart in beiden Fällen einen überraschen- 

 den Zusammenhang der Klassenanzahl mit ganz verschiedenen Gebieten der 

 Zahlentheorie , nämlich für negative Determinanten mit den quadratischen 

 Resten und Nichtresten, und für positive Determinanten mit den beiden, vor 

 allen andern ausgezeichneten Autlösungen der Feilschen Gleichung, der, 

 die kleinsten Zahlen enthaltenden Fundamentalauflösung inid der, aus der 

 Theorie der Kreistheilung sich ergebenden Auflösung, welche letztere Diri- 

 chlet in einem kleinen Aufsatze: über die Auflösung der Feilschen Glei- 

 chung durch Kreisfunktionen, zuerst angegeben hat. Eine tiefere Einsicht in 

 den Zusammenhang dieser ganz heterogen erscheinenden Gegenstände mit 



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