Gcdüchlnifsrede auf Lejeune - Dii-ichlct. 21 



wie für die arithmetische Reihe, auch für die quadratischen Formen den Salz 

 bewiesen, dafs durch jede Form, deren drei Coeificienten keinen gemeiu- 

 schafthchen Faktor haben, unendlich viele Primzahlen dargestellt werden. 



Als er später in einer besonderen Abhandlung die Theorie der qua- 

 dratischen Formen unter dem Gesichtspunkte behandelte, dafs die Coeffi- 

 cienten und die Veränderlichen der Form als complexe, aus der Zerlegung 

 der Summe zweier Quadrate in imaginäre Faktoren entstehende, ganze Zah- 

 len betrachtet werden, erhielt er aus der Anwendung seiner Methode auf 

 dieselben noch mehrere neue und überraschende Resultate , von denen ich 

 hier namentlich zwei hervorzuheben habe, welche dadurch von besonderer 

 Bedeutung sind, dafs sie liefere Blicke in die verborgensten Eigenschaften 

 der Formen höherer Grade eröffnen. Die Klassenanzahl der quadratischen 

 Formen mit complexen Coefficienten wird durch Reihen ausgedrückt, welche, 

 wie Dirichlet leider nicht vollständig entwickelt, sondern nur angedeutet 

 hat, sich nicht durch Kreislünktionen, sondern durch Leniniskateufunktionen 

 summiren lassen ; diese stehen also hier zu den Auflösungen der betreffenden 

 Feilschen Gleichung, oder allgemeiner gesagt, zu den Einheiten in dersel- 

 ben Beziehung, wie die Kreisfunktionen zu den Einheiten der nichtcomplexen, 

 quadratischen Formen. Da die hier betrachteten Formen auch als zerlegbare 

 Formen des vierten Grades mit vier Veränderlichen aufgefafst werden kön- 

 nen, so deutet dieses Resultat überhaupt auf einen noch imerforschlen inni- 

 gen Zusammenhang, in welchem gewisse Formen höherer Grade zu bestimm- 

 ten, und zwar periodischen, transcendenten Funktionen der Analysis stehen. 

 Ferner hat Dirichlet gefunden, dafs in dem besonderen Falle, wo die De- 

 terminante eine nichtcomplexe Zahl ist, die Rlassenanzahl dieser complexen 

 quadratischen Formen aus zwei Faktoren besteht, welche beide einzeln die 

 Klassenanzahlen der nichtcomplexen Formen derselben Determinante aus- 

 drücken, der eine für die negative Determinante, der andere für die positive. 

 Dieses Beispiel offenbarte zuerst die allgemeinei-e Natur dieser Ausdrücke, 

 welche in allen später ermittelten Klassenanzahlen von Formen höherer 

 Grade sich wiederfindet, nämlich dafs sie aus zwei wesentlich verschiedenen, 

 ganzzahligen Faktoren bestehen, deren einer allein durch die Einheiten, der 

 andere aber durch Potenzreste in Beziehung auf die Determinante bestimmt ist. 



Für diejenigen zerlegbaren Formen höherer Grade, deren lineare Fak- 

 toren keine anderen Irrationalitäten, als Einheits wurzeln für einen Primzahl- 



