22 Kummer: 



Exponenten, enthalten, hat Dirichlet während seines Aufenthalts in Italien 

 die Klassenanzahl bestimmt, aber er hat von dieser Arbeit leider nichts 

 veröffentlicht. 



Endlich sind hier noch die interessanten und neuen Resultate zu er- 

 wähnen, welche Dirichlet aus der Anwendung seiner Methode auf die Be- 

 stimmung der mittleren Werthe, oder asymptotischen Gesetze für die, in der 

 Zahlentheorie überall auftretenden, scheinbar ganz regellos fortschreitenden, 

 ganzzahligen Funktionen gewonnen hat. Dieselben betreffen die schon früher 

 von Euler, Legend re und Gaufs behandelte Frage über die Häufigkeit des 

 Vorkommens der Primzahlen in der natürlichen Zahlenreihe, ferner die von 

 Gaufs angedeuteten mittleren Werthe der Klassenanzahl der quadratischen 

 Formen, und der Anzahl der Gattungen derselben, und aufserdem mehrere 

 in den Elementen der Zahlentheorie vorkommende, auf die Divisoren und 

 die Reste der Zahlen bezügliche Funktionen. Merkwürdigerweise ist es grade 

 bei dieser Art von Untersuchungen, für welche die analytische Behandlungs- 

 weise ganz besonders geeignet erscheint. Dir ich! et 's fortgesetzten Bemü- 

 hungen gelungen, die analytischen Methoden in vielen Fällen durch rein 

 arithmetische zu ersetzen, und auf diesem Wege noch einige neue und über- 

 raschende Resultate zu gewinnen, von denen ich hier nur das eine anführen 

 will, dafs bei der Division einer gegebenen Zahl durch alle kleineren Zahlen 

 die Reste, welche kleiner als die Hälfte des Divisors sind, durchschnittlich 

 viel häufiger vorkommen, als die welche gröfser sind. 



Die in dem Voihergehenden erwähnten , gewisse Formen höherer 

 Grade, mit mehreren Veränderlichen, betreffenden Untersuchungen führten 

 Dirichlet auf die allgemeine Theorie der zerlegbaren Formen aller Grade, 

 welche mit der allgemeinen Theorie der, durch Gaufs in die Wissenschaft 

 eingeführten, complexen Zahlen wesentlich identisch ist. Was er über diesen 

 wichtigen Gegenstand veröffentlicht hat, beschränkt sich zwar nur auf einige 

 skizzenhafte, kurze Mitlheilungen in den Monatsberichten unserer Akademie, 

 aber es enthält dessen ungeachtet, aufser den allgemeinen leitenden Gedanken, 

 auch die Lösung der hauptsächlichsten fundamentalen Schwierigkeiten; na- 

 mentlich sind die Sätze über die Einheiten und die Hauptmomente für die 

 Beweise derselben so vollständig angegeben, dafs dieser Theil der Theorie 

 sich ganz im Sinne ihres Urhebers möchte ausführen lassen. Welcher bedeu- 

 tende Nutzen der W^issenschaft aus einer vollständigen Bearbeitung dieser 



