2 BoRCHARDT über eine Interpolationsformel für eine 



derliche Argumente, die für z gesetzt werden, «,, a^, ... a„ gegebene Werthe 

 von z. Es bezeichne A (o:,, jc^ ...x^) das alternirende Differenzenproduct 

 der Veränderlichen cc^, x^ • • • J^™ (jede Differenz x^ — x^ so genommen dafs 

 Jc>i), endhch bezeichne R (x,, x^, ... x^; j-,, j-^, ...jKj) das Differen- 

 zenproduct 



n n (x,-x,), 



1=1 *=i 



welches das resultirende Differenzenproduct jener beiden Reihen von 

 Gröfsen heifse. 



Dies vorausgesetzt , so ist die in Rede stehende allgemeine Interpo- 

 lationsformel 



[ 2±F| a, Fj 0.2 ...F„«„ /{(x-,, .^2, ...:«,„; «„+, . . «,) 



SJIF, :r,F2:r2 ...i^„j;„ _ Q 



A(x,, ^2 ...:r„) O A (tt,, C42 ... a„) ' /{(a,, ttj' ■•• *™; <*™ + i •••*»)' 



wo die Summe rechter Hand sich auf alle Combinationen zu m der n Gröfsen 

 «,, «2 ••• ". bezieht. Diese Formel drückt die Function linker Hand durch 

 die Werthe aus, welche sie erhält, wenn die Veränderlichen x^, x.^, . . . x^ 

 mit m der gegebenen Argumente «,, «2» • • • "„ zusammenfallen. Wenn 

 man übereinkommt, dafs für 7n=i das alternirende Differenzenproduct 

 A(a:,, x„ ... x^) allemal durch die Einheit zu ersetzen ist, so ist die La- 

 grangesche Interpolationsformel der besondere Fall /?z = l dieser Formel. 

 Umgekehrt wird diese aus jener durch den sogenannten Cauchjschen Fro- 

 ductensatz für Determinanten hergeleitet. Setzt man nämlich in 



F,z F, ec, I F, «2 1 F, «.„ 1 



J L' ^^ L' ^^ *•* ^ l' J 



IfZ <P«i ~ "l (p«2 ^ *2 "p *„ ^ "'„ 



wo <pz:= {z — a,) {z — «2) ... (z — a^), für /^, nach einander/^,, F^ ... i^„, 

 für z nach einander a;,, 0-2, ... x^, und bildet aus diesen mm Gröfsen die 

 Determinante, so ergiebt sich nach jenem Deterrainanlensatz 



2±F, ;r, F2:c,...F„Ji:„ /~^ 2±F, «, F, 0,5 . . . F„ «, 



S ^Xf, «, /<2«-g •••'^m«^ .g^ 

 (fj'a I (h' 0.2 ... (l)'a„ 



«I 



WO das Summenzeichen S rechter Hand in dem oben bezeichneten Sinne zu 

 nehmen ist. Indem man für die Determinante , die den zweiten Factor 

 auf der rechten Seite bildet, ihren bekannten Werth setzt, welcher das alter- 



