10 BoRCHARDT übcT eine InterpolatioTisforrnel für eine 



Die so eben entwickelte Umformung des Ausdrucks (8) für den Fall 

 z=2 führt unmittelbar zur Lösung der obenerwähnten Tschebischefschen 

 Aufgabe. Dieselbe besteht darin, eine Function 



%x =. a^-\- a^ X + ... + a^ ■r" 



nach der Methode der kleinsten Quadrate aus den Werthen /4,, ^,, ... A^, 

 denen sie für x-=a^, a^, . . . a„ gleich werden soll, zu bestimmen, wenn 

 jn<zn — 1 ist und das Maafs der Genauigkeit für den einzelnen Werth A^ 

 durch ^a^ angegeben wird, wo 9 eine ganze Function bedeutet. Die Bestim- 

 mung nach der Methode der kleinsten Quadrate erfordert, dafs die Summe 



Über die Werthe 1,2, ... n des Index r ausgedehnt, zu einem Minimum 

 gemacht werde. Dies giebt die iri + 1 Bedingungen, welche aus 



0=2a:(9<xjMga,-^J 



hervorgehen, wenn man 7c = 0, 1, ... m setzt. Da zufolge dieser Gleichun- 

 gen die Coefficienten in % lineare Functionen der A sind, kann man 



%x^=A^X^x-^...-\-A^K^X'=i'^A^X^x 



setzen , wo die Xx Functionen mten Grades bedeuten, welche von den Wer- 

 then A unabhängig sind. Die Einsetzung dieses Werthes von S^c in die 

 obige Bedingungsgleichung giebt 



welche Gleichung nur erfüllt sein kann, wenn der Coefficient jeder einzelnen 

 Gröfse A auf der rechten Seite derselben verschwindet. Dies giebt für ein 

 bestimmtes A^ die Bedingung 



r 



Läfst man den Index r in dieser Summation fort und schreibt dann r für ^, 

 so hat man 



