Art symmetrischer Functionen und über deren Anwendung. 1 7 



Es ergiebt sich hieraus für die Sylvesterschen Restfunctionen eine von 

 der Kenntnifs der Wurzeln von <^a: = unabhängige Darstellung, nämlich: 



Ist die Function (pjc =z {a: — a^) (o- — « , ) ... (x — a„ ) nicht durch ihre 

 linearen Factoren, sondern durch ihre Coefficienten gegeben, ist fx eine 

 zweite Function nten oder n — Iten Grades, so lassen sich die den Resten 

 der successiven Division von y*j: durch <^.r proportionalen Sjlvesterschen 

 Restfunctionen 



f.-*=(-i)' 



S 



/«, .../■«„ (a: — a,„^.,) ... {x—a.„) 



Ä(*, 



*J 



durch die Coefficienten a, , der Bezoutschen Function 



y — - 



i = *=0 



ausdrücken und zwar in Form der folgenden Determinante : 

 ■3C._ a, ._„^, a ._„^„ a. „ . . 



X. 



-,y 



X. 



n + I , n ~m + 1 



a 



n~m+tj 



a. 



=1-. 



x. 



(19) 



Dies Ergebnifs ist eine Ergänzung der von Herrn Cayley gegebenen 

 Aussage des Bezoutschen Eliminationsverfahrens, welche für den Fall 7rt = n 

 hierin enthalten ist. 



Aufser den bisher angewandten Mitteln giebt es noch ein anderes, 

 welches ebenfalls aber in verschiedener Weise dahin führt, die ursprünglich 

 erhaltenen combinatorischen Summen, welche sich auf die Argumente «, die 

 Wurzeln der Gleichung (px = 0, bezogen , in andere zu verwandeln, welche 

 nur die symmetrischen Functionen dieser Wurzeln enthalten. Dieses Mittel 

 besteht in einer neuen Anwendung der Interpolationsformel (1) imd zwar in 

 dem Sinne, dafs die Wurzeln a durch neue nach Belieben gewählte Argu- 

 mente ß ersetzt werden, so wie jene in (1) die Gröfsen x ersetzten. 

 Math. Kl. \%b^. C 



