der Sechsundsecliskanlner and Dreiunddreikantner. 221 



C n : Co = ± : ^±j = 2 „ - i : » V 3 = l : .£™ 



Und da O = Crc X V , so ist O : Co = 2» — 1 : 2«, 



folglich Co : Cr : po = 2n : 2 n — 1 : i, oder ro = ^. Co. 

 Betrachtet man ferner die zweierlei Winkel des Zwölfecks, non und ond , 

 so verhalt sich für die Hälfte noC des einen non, also des an einem s 

 anliegenden 



sin : cos = Ca (Fig. 1 .) : Co = a : ^j = 2 n — 1 : V 3 

 und für die Hälfte onC des an einem a anliegenden ond , 



sin : cos = Ch (Fig. 1 .) : Cn = ^:^ = n Y 3 : n — 2 

 Nie können in den Krystallen diese beiden Winkel oder mit andern 

 Worten die beiderlei Radien des Zwölfecks, -£ und ~'^_ 1 , d. i. ^ und 

 _— — j einander cleich werden, da n immer einen rationellen Werth be- 



2 n — 1 O 



hält. Angenommen, sie würden gleich, so würde — = f _ { , also 

 2 n— l=n 1 3 , folglich n (2 — V S) = 1 , oder « = .y^ 1 , 3 



Dagegen kann nicht allein der stumpfere Winkel von beiden bald 

 der an a. bald der an s anliegende sein, sondern es können auch die 

 nemlichen Winkel in umgekehrter Lage gegen a und s sicli 

 für das Zwölfeck wiederholen. Die allgemeine Formel für diese Um- 

 kehrung findet sich leicht so : Es seien die Werthe n und m diejenigen, 

 wobei die Umkehrung der Winkel in Beziehung auf ihre Lage gegen a 

 und s Statt findet ; so hat man 



2 n — 1 : V 3 = m ] 3 ; m — 2, also 



3 m = 2 n in — in — i n -+■ 2, mithin 

 im — 2 = (2 m — 4) n, oder 



2 m — 1 = (m — 2) nj also 

 n = ~ "' ~ , und umgekehrt m = ~"~ ( 1 ) 

 Dies findet, wie man sieht, seine Anwendung auch auf die Sei- 

 tenflächen der sechsundsechskantigen Säulen, die gleichfalls mit densel- 



(1) Dieselbe Gleichung erhält man, wenn man davon ausgeht, dafs bei den zwei Wer- 

 then n und m (für n) das Verhältnifs der zweierlei Radien des Zwölfecks, Cn und Co sich 

 umkehrt; also 



2 n — 1 : n Y 3 = m \/ 3 : 2 m — 1 ; folglich 



3 n in = 4 n m — 2 m — 2 n ■+■ 1 , oder 

 « in — 2 7» = 2 « — 1, d. i. 



m (n — 2) = 2 « — 1, u. s. f. 



