Frobknii's: Ober den f-eiiiisclilcii Fläclieiiinlialt /.wcier Ovale 381 



Über den gemischten Flächeninhalt zweier Ovale. 



Von G. KuoBENius. 



rievvoyt sicli eine Ebene parallel mit sich selbst durch einen konvexen 

 Körper, so nimmt der Inhalt der Schnittlläclie beständig zu bis zu 

 einem Maximum und nimmt dann wieder beständig ab. Möglicher- 

 weise bleibt das Maximum für einen Teil der Schnittflächen unver- 

 ändert; dann bilden diese zusammen einen Zylinder. Diese l)eiden 

 Sätze hat, auch für Bereiche von mehr Dimensionen, Ilr. II. Brunn 

 golvuiden und auf ganz elementarem Wege in seiner Dissertation l)e- 

 wiesen (L^^«' Ovale und Eißächen, München 1887; hier mit Br. zitiert). 

 Sie sind nach ihm (Br. III, 4 — 13) der geometrische Ausdruck der für 

 ]K)sitive Größen geltenden Ungleichheit 



V(at + 6,) (a-i + ia)-- • (a„ + h„) > l^o,ai---ä!„ + l^Ä,ij---6„, 



worin das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn a, : Oj : • ■ • : o„ = 6, : i^ ■ • • : '^„ 

 oder ö^ = 6j = ist. Dieselbe ergibt sich durch Anwendung der Formel 

 von HöLOER (Göttinger Nachr. 1889) und Jensen (Acta malh. Bd. 30) 

 auf die kouAcxe Funktion l(\ -1-^'). 



Die Anwendbarkeit jener 1>eidcn überaus fruc]itl)aren Sätze hat 

 3I1NK0WSK1 (Volumen und Oberfläche, Math. Ann. Bd. 57; Werke, Bd. II. 

 hier mit Mk. zitiert) noch eriiölit durch Einfiilirung des Be<.>TiiVs des 

 (jeniischten InJuilts von zwei Ovalen (vgl. Mk. S. 125). Der erste lautet 

 darm M^ > FF' . Hier sind Fund F' die Inhalte von zwei Ovalen, die 

 in einer Ebene oder in zwei parallelen Ebenen liegen, und M ist ihr 

 gemischter Flächeninlialt. Der zweite Satz, für den Minkowski einen 

 strengeren Beweis gegel)en hat. besagt, daß nur dann M' = FF' sein 

 kann, wenn die beiden Bereiche hnmothetlsch sind. 



Einen neuen elementaren Beweis für diese Sätze gibt Hr. Bi.aschke, 

 Beweise zu Sätzen von Brunn und Minkowski über die Minimaleigen- 

 schaft des Kreises, Jahresbericht der deutscfwn Mathematiker -Vereinigung, 

 Bd. 23; er beruht auf der Approximation von Kuiven duivh unge- 

 schriebene Polygone. Mit Recht bemerkt er hier, daß der Ueweis von 

 Minkowski tur den zweiten Satz schwer zu übcrblieki'ii ist. Ebenso 

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