Frobenii's: Über dm ^rniiscliteii Fläclicninliall zweier Ovale 'M)'.i 



oben gezeigt, nur iiKiglieli, wenn ^ und ''P' homothetisch sind. Ist 

 dies nicht der Fall, so kann man auf diese Ungleichheit (9.) die lie- 

 trachtungen Mk. 23 und 26 (Schluß) anwenden, und damit aucli den 

 Fall erledigen, wo ^ und '!)3' nicht aus Stücken analytischer Kurven 

 hestehiMi. (\'gl. aucli IT. A. Schwarz. Math. Ahh. li, S. .7.V.9.) 



>' 3- 

 Sind "f»,. "Pj.-- %„ n Ovale in parallelen Ebenen, und sind 

 x, , .r j , • • • J^„ positive Größen, deren Summe 1 ist, so ergibt sich für 

 den Flächeninhalt F des Ovals 'iP ^ ^c, ^, + ^2 ^i + •■ • + x,. <P„ in 

 derselben Weise wie oben 



(I.) F = (c, j-, + ••• +c„x„)>- - I (jr,<, + ... +x„<„)>rfcp = h-- G . 



Ist 



so sind die Koeffizienten 



der (|na(Li'atiscii('n Form /•' alle po-sitiv, ebenso die der linearen Form /(, 

 worin 



c^c, = 3/(Ü„,Üx) 



ist. i'jidlicli ist G eine nicht negative Form, deren Koeffizienten 



-HJ 



^«x = CxCx-a„>. = — l^t,,d^ 



auch alle jjositiv sind. Ist .s' der Rang der Form G, so kann sie in 

 !/i + ^3 • • • + 1/^ transformiert werden, wo y^, y-i, ■ • ■ y, unabliängige 

 lineare Funktionen von Xj, x„,---x„ sind. 



Ist yo eine von diesen unabhängige Variable, so ist F unter der 

 Form yl - yl - • ■ ■ - yj enthalten. Nun lautet das Trägheitsgesetz der 

 quadratischen Formen in seiner allgemeinsten Gestalt: 



Eine reelle quadratische Form H lasse sich in p + q Quadrate unab- 

 hängiger reeller linearer Funktionen zerlegen^ von denen p positiv und q 

 negativ sind. Für eine andere Form H' mögen p' und q' dieselbe Bedeu- 

 tung haben. Ist dann H' unter H enthalten^ so ist p^p' und q>q'- 

 ßnthalten sich H und H.' gegenseitig, so ist p = p' und q ^= q'. 



Daher kann der Trägheitsindex p von F nur 1 oder sein. Im 

 letzteren Falle würde F nur negative Werte darstellen. Da aber die 

 Koeffizienten von F alle positiv .sind, so ist ^ = 1. Dies Resultat 

 leitet Minkowski (Mk. §39) aus dem Satze ab: 



Sei F(a\, ■■■ X,) = ^a,x^«^x ^*^ reelle quadratisclie Form, di/^ 

 für X, = r, , • • ■ a;„ = c, den positiven Wert F' hat, und sei M = ^ a^ 0, x, . 

 Ist dann stets M*>FF', so hat F den Trägheit.Hndex 1. 



