H94 Gesaintsitzung vom 3. Juni 1915 



Gellt eine reelle quadratische Form H durch eine reelle lineare 

 Substitution der Determinante +1 in s^yl -\- •■■ -\- ^„yl über, so ist die 

 Deteiniinante von H 



Von den Größen s^, s^, ■■■ s„ sind p positiv, q negativ und n-p-q 

 Null. Ist D von Null verschieden, so ist ji = p -\- q , und ü hat das 

 Zeichen (-- 1)' = {- 1)""'" . In jedem Falle ist folglich 



(2.) (-!)"-'•/> = (-.1)»X> > . 



Für die Form F ergibt sich daher (Mk. § 39) das Resultat: 



11. Die quadratische Form F = V iJ/ (^P. , ^ J x, x^ hat den Träg- 

 heitsindex 1. Ist A ihre Deterfninante_, so ist 



(3.) (-1)"-M>0. 



Ich will jetzt zeigen, daß nur dann jl = ist, wenn man den 

 beiden Gleichungen G = und A = durch reelle Werte x, = a, , 

 ... a:„ = ö„ genügen kann, die niclit alle Null sind. Da G eine nicht 

 negative Form ist, so kann nur an solchen Stellen G =: sein, wo 

 auch alle Ableitungen von G verschwinden. Die Bedingungen G = A — 

 sind daher mit den Gleichungen 



/ X <*F dF 



I.)- —- =: 0, ■■• -- = 0, Ä = 



fl Xi x„ 



identisch. Ist ;• der Rang von F, so sind unter den «Ableitungen 

 von F genau /' unabhängig. Ist A = , so ist r < ?i . Ist r < n - I , 

 so -ist die Anzahl der unabhängigen unter jenen n + 1 homogenen 

 linearen Gleichungen zwischen n Unbekannten kleiner als n. und daher 

 Iiaben sie stets eine Lösung. Ist r =^ « - 1 , so sind die Unterdetermi- 

 nanten A,^ von A nicht alle Null, und weil ^4 = ist, ist A^^^ = Jto.a^. 

 Hier sind 0, , ■ . ■ «„ reelle Werte, für welche die n Ableitungen von F 

 verschwinden. Setzt man x^ = , so erhält man aus F eine unter F 

 enthaltene Form von ra - 1 Variabein, die nach dem Trägheitsgesetz 

 und Aveil a,, > ist, den Trägheitsindex 1 hat. Nach {2.) § 3 ist 

 daher ' 



(-1)".4,, > 0, A^y = (-l)"a,ax. 



Nun ist 

 ( l)"ß = |-/>.,,| = |a.,-f,cx| = A -^Axc.rv =: 0-(- 1)" ^a,a,,c,c^ . 



