400 Gesamtsitzung vom 3. .luni 1915 



und mithin ist M = F. Der Bequemlichkeit halber setze ich y = 1 

 und bezeicline G{x,rj) mit G,Xx) = G{x) = G„ = G. Sind ^ und ^' 

 homothetisch, aber nicht kongruent, so haben sie einen endliclien Ähn- 

 iichkeitspunkt. Wählt man diesen füi" 0, so ist h[ = ch^, s^ = r,s\, 



26' = ^ h,{x + c)s,(x + c) = 2F{x + c)^ . 



Dies gilt auch fÜir die Kongruenz, wo c = 1 ist. Nun beweise ich 

 den Satz: 



Enthält eine Schar ein konvexes Polygon^, und sind ihre Basispolygone 

 nicht homothetisch^ so ist G(x,y) eine indefinite Form. 



Wir können annehmen, daß ^ ein im positiven Sinne umlaufenes 

 konvexes Polygon ist, so daß der Inhalt F von ^ positiv ist. Dann 

 ist nur zu beweisen, daß es Werte von x gibt, für die 

 G„ (x) = F„ X» + 2 M„ X + Fl 



negativ (<0) ist. Da ^ und ^' nicht homothetisch sind, so ist m>3. 

 Ist w = 4 und ^ ein Parallelogramm, so ist 



F ^ c(h, + h,){h, + h,), 



= c{x(h, + I13) + A; + /(3)(j^-(Aj + ht) + A; + h',). 



Da nicht h^ + h^: h.^ + h^ = h[ -\- h'^: h'^ + h[ ist, so ist G indefinit. 



Schließen wir das Dreieck .ind das Parallelogramni aus, so gibt 

 es immer eine Seite BC, deren anliegende innere Polygonwinkel zu- 

 sammen (8 + 7 > - sind. Denn wäi-e stets B + y^ir, so wäre 



2 (»-2) TT = 2^a = ^ (ß + >')<W7r, 



also entweder n =^ o, oder « ^ 4 und dann immer ;S + 7 = ~, also 

 ^ ein Parallelogramm. 



Ist nun ß + y>Tr, so schneiden sich die ^Verlängerungen von 

 AB und DC in einem Punkte L außerhalb ^„. Das (M-l)-Eck 

 ^„_i = ALDE ■•■ ist konvex, tmd hat in bezug auf den Stern 

 Pi ! ps > • • • f ,. 'lie Koordinaten h^, h^, ■ ■ ■ k„. Sein Inhalt F„_ , ist po- 

 sitiv. Dasselbe gilt von dem Inhalt F^ des Dreiecks ^, = CBL, 

 das in bezug auf den Stern p, , p^ . O3 <üe Koordinaten h^ , h^, h.^ hat. 

 Macht man für ^'„ dieselbe Konstruktion, so ist 



F„ ■=^ F„ _ i~ Fi , 6 „ = G „ _ 1 — G' 3 . 



Hier ist G, = F.^ (x + b)' ein positives Quadrat. 



Sind ^„_, und ^^_, homothetisch, so ist G„_, = F„_^ (x 4- «)'• 

 Es ist aber nicht a =: b, sonst wären auch ^„ und *P', homothetisch. 

 Dali er ist 



Gja:) = F,..,{.r + ay-F,(x + öy 



für X — - a negativ. Damit ist der Fall « = 4 erledigt. 



