458 Gesamtsitzung v. 17. Juni U»15. — Mill. il. phys.-math. Kl. v. 20. Mai 



Zur analytischen Zahlentheorie der definiten 



quadratischen Formen. (Über die Gitterpunkte in 



einem mehrdimensionalen EUipsoid.) 



Von Edmund Landau 



in Göttingen. 

 (Vorgelegt von Hrn. Frobenius am 20. Mai 1914 [s. ohen S. 373].) 



Einleitung. 



Uie Ergebrisse der folgenden Untersuchungen sind bereits für den 

 Kreis (Form u^ + v*) teilweise neu, für die Ellipse (definite Form 

 a^^u'^ + 2a,^uv + a.^^ii^) bei nicht kommensurabeln Koeffizienten ganz 



neu, für das Ä:-dimensionale EUipsoid (definite Form ^o„^m„m„) schon 



bei ganzzahligen Koeffizienten schärfer als das bisher Bekannte. Und 

 auch für die bekannten Spezialfälle ist meine neue Beweismethode 

 (§ 2 — 3 des Folgenden) viel kürzer als die alten Beweise. 



Das einfachste Problem, welches in den folgenden Untersuchungen 

 steckt, lautet: Wie viele Gitterpunkte gehören dem Kreis 



(i) u^ + V* ^ X 



an? D. h. wie viele Paare ganzer Zahlen u, o erfüllen diese Relation (i)? 

 Wenn A{x) die betreffende Anzahl bezeichnet, so ist fast triviar, daß 



(2) A(x) = 7rj: + 0(Vx) 



(Fläche des Kreises plus Fehler von der Ordnung des Randes) ist. Und 

 es ist einer der tiefsten Sätze der analytischen Zahlentheorie, daß 



(3) M^) = nx + o(]G) 

 und sogar 



(4) A(x) = TTx + 0(h) 



' \'gl. ■£. B. Gauss, De nfxu inter multitudinem classiwn, in quas formae hinariae 

 secundi gradus distribuuntur, earumque determinautem (Werke, Bd. II, S. 269 — 291), S. 277. 



