K. L.wiiAi: Aiialytisflx' Znlilciillicoi-ic di-r «li'tinili'n i|n.iilriitisrlM-ii iMiitiu-ii 461 



Heute werde ieli. so^.-ii- oliiic die j^eiuiiiiiten eiiiseliWinkeiideii Aii- 

 nalmieii. iiielir als ((j) hewciseii. iiiiiidieh 





(lo) ist bislier, außer im oliiLriMi Spezialfall (4), luir iu luigendeii 

 heideii Fällen l)ekauiil, aber aul' wciiij^-er eiulaelieui Wef«'e' bewiesen 

 worden, dessen Ausdehnung auf das allf>eineine l'rohli'ui liisjicr nicht 

 unternommen wurde: 



a) Duich mieh" für die zweidimensionale Ellipse mit jj^anzen o^,., 

 2,, M„ und dem Gewicht 1 der Gitterpunkte. 



b) Durch meinen Schüler, Hrn. Gauer*, für tlii- dreidimensionale 

 Kugel und das Gewielit 1, ohne die Konqrnenzbedingungen (6). 



An der Auffindung meiner A'orliegenden Heweismethode sind am 

 n.Hchsten vorbeigegangen: Voronoi ' und Hr. Wigert", die bei anderen 

 (zweidimensionalen) Problemen das Analogon'' meiner nachher mit (34) 

 bezeichneten Relation bewiesen haben, ohne zu bemerken, daß durch 

 einen l)estimmten Knnstgriff' daraus eine Verbesserung der trivialen 

 Abschätzung erzielt werden kann, welche dem obigen (8) entspricht*. 



Im >j I reproduziere ich — um nachher den Gang nicht unter- 

 brechen zu nnissen — ohne Beweis eine Reilie von klassischen Sätzen 

 über spezielle analytische Funktionen: erstens über BesselscIic Funk- 



* PrEiFFERSche Methode. 



' Vgl. die oben zitierte Stelle in Heu Wiener Sitzungsberichten. 



' Neue Ämcrnrhinyen der PrKirFKRsc/ie» Mcthork :ur Absch(lt:nm(i zahlentheoretischer 

 Funktionen (Inaimural-Di.ssertation, Göttingen, 1914, 55 S.), S. 9 — 27. Im zweiten Teil 

 behandelt Hi'. ("AUEn ein andere.s Problem, das einstweilen nur der HrKiiFRüscben 

 Methode zugänglich ist. 



* Sur une fonction transcendante et ses applicationa ä la sommation t'c quelqwx 

 series (Annales scientifiiiues de l'Kcolc Normale .superieuro, .Sor. III, lid. XXI (1904I. 

 S. 207 — 267, 459 — 533) und Sur le developpement, n l'aide rief fnnctions cylindriques, dex 

 ■sommes doubles ^/(pm" + 2qmti + rn'^), oie j>m- + 2qmn + rn- est unc forme posi- 

 tive ä coefficients entiers (Verhandlungen des dritten Internationalen Mathemalikcr-Kon- 

 grcsses iu HeideII)Ci'g vom 8. bis 13. August 1904 [Leipzig, 1905], S. 241 — 245). tjbri- 

 gens war gerade Voronoi der erste, der briin 'reilerprobicm t(x) = 2; 1 (Hyperbel) 



u^l.r^ 1 



in der DiRicBLETSchcn Relation t (x) = x log x 4- (2C'— 1 ) j; + 0( ]/ x) das Restglicd 



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zuo(kx), sogar zu O(V'.rlog.r) verl)essert fiat — aber auf ganz anderem Wege — 

 in seiner schon obengenannten Arbeit aus dem f'RELi.EScheu Journal. 



^ Sur quelques /onctions aril/im^tiques (Acta Mathematica, Bd. XXX\'1I [1914], 

 S. 113— 140). 



" In VoRONois Heidelberger Note steht sogar ein Spezialfall \ on (34) gedrui'kl. 

 aber mit einer Begi-üiulung, die X'oronoV selbst als nur heuristisch bezeichnet. 



' Den ich allerdings der I'KEiKFF.Rschen Methode entnehme. 



' Diese Hemerkungen zu A'nRoNm und llru. Wkikrt \\ erde ich iimlerwlirts be- 

 gründen. 



