E. Landau: Analytische Zahlentheorie der definiten quadratischen Formen 467 



gesetzt ist. (25) lehrt, daß für er < 



ist, wo die Reihe rechts absolut konvergiert. 



Wegen der für festes s > und absolut waclisendes t gültigen 

 Abschcätzungen 



(27) g|| + , + ,ij=,0(i) 

 und [nach (26) und (18)] 



(28) 9(-s + <i) = o[\tfi''') 



k 

 nebst' der gleichmäßig für -£^cr<— + £ gültigen Abschätzung 



(29) S(.) == O(.'i'i) 



ist zufolge eines bekannten PHRAGMEN-LiNDELörschen Satzes^ für 



k 

 -E<cr< — + £ gleichmäßig 



9(.) = (>(|<|^^"), 



also für cr^-£ gleichmäßig 



(30) 9(.) = o(|^|^i. 



4. Eine spezielle Iiitegralforinel : Falls > ist und p > 1 ganz 

 ist, gilt bekanntlich^ 



° + «"' ^ rO für 0<y<\ , 



(30 J .(. + ir(. + p) -^— U;;(i-i-yfür,^i. 



' (29) folgt aus (23), da die rechte Seite 0(1) ist, tt» gleichfalls und . . = 0(6^ I ' I ) 

 nach (17) ist. 



^ Phbagmen und Lindelöf, Sur une extension (tun principe classique de P Analyse 

 et sur quelques proprietes des fonctions monogenes dans le voisinage d'itn point singulier 

 (Acta Mathematica, Bd. XXXi [1908], S. 381— 406), S. 387 oder S. 388. Der Satz 

 lautet: "Auf dem Rande des Gebietes t, ^t<t.j , t>.t„ (oder t-^t„) sei F{s) regulär und 

 beschränkt. Auch innen sei F{s) regulär. Bei wachsendem t (oder - t) sei im Gebiete gleich- 

 mäßig F{s) = O(e^l'l), wo J. von s frei ist. Dann ist auch im Imiern des Gebietes F{s) 



beschränkt.» Dieser Satz ist zufolge (27), (28), (29) auf F(«) = ^ , o-, =-£, 



3-2 = -ö-+f)'o = il,-4 = 2 anwendbar. Den nur wenige Zeilen langen Beweis 



findet man auch auf S.703 — 704 meiner olsen zitierten Abhandlung aus den Göttinger 

 Nachrichten. 



^ Leicht aus dem C'AucHYschen Satz zu folgern. 



