Einstein : Zur allgemeinen Relativitätstheorie 



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VAn Vergleich mit (41b) zeigt, daß bei unserer Festsetzung das Gesetz 

 für die Divergenz dasselbe ist, wie gemäß dem allgemeinen Diife- 

 rentialkalkül das Gesetz für die Divergenz des V-Tensors. Daß diese 

 Bemerkung für beliebige Tensordivergenzen gilt, läßt sich aus (5) und 

 (5 a) leicht ableiten. 



3. Die tiefgreifendste Vereinfachung bringt unsere Beschränkung 

 auf Transformationen von der Determinante i hervor für diejenigen Ko- 

 variantcn, die aus den ^„„ und ihren Ableitungen allein gebildet werden 

 können. Die Mathematik lehrt, daß diese Kovarianten alle von dem 

 RiEMANN-CHRiSTOFFELschen Teusor vierten Ranges abgeleitet werden 

 können, welcher (in seiner kovarianten Form) lautet: 



8V.m . ^'ffm '^'9il 3'5'm* 



{Ik , Int) = 



dx^'öxi "^Xf'dx,,, 'dx/c'dxrn 9a;,3x; 



■^9' 



]) 



;io) 



Das Problem der Gravitation bringt es mit sich, daß wir uns besonders 

 für die Tensoren zweiten Ranges interessieren, welche aus diesem Ten- 

 sor vierten Ranges und den g,^. durch innere Multiplikation gebildet 

 werden können. Infolge der aus (10) ersichtlichen Symmetrie-Eigen- 

 schaften des RiEMANNSchen Tensors 



= {Im , ik) I 

 = — {ki, lm.)j 



{ik , Im) = {Im , ik) 

 {ik, Im) 



(!■) 



kann eine solche Bildung nur ;iuf eine Weise vorgenommen werden; 

 es ergibt sich der Tensor 



G;„=^g''(ik,lm). 



(12) 



"Wir leiten diesen Tensor für unsere Zwecke jedoch vorteilhafter aus 

 einer zweiten, von Christoffel angegebenen Form des Tensors (10) ab, 

 nämlich aus' 



Aus diesem ergibt sich der Tensor G,„, , indem man ihn mit dem Tensor 

 multipliziert (innere Multiplikation): 



(13) 



' Einen einfachen lieweis tiif den Tensorcharakter dieses Ausdrucks findet man 

 auf S. 1053 meiner mehrfach zitierten Arbeit. 



