790 Sitzung der jiliysikaliscli-niatlieinatischen Klasse vom 11. November 1915 



Über den geometrischen Begriff der Funktion einer 

 komplexen Veränderlichen. 



Von F. SCHOTTKY. 



JJurcli eine Potenzreihe von x — a wird innerhalb des Konvergenz- 

 gebiets eine Funktion der komplexen Größe x ihren Werten nach 

 gegeben, mit der sich rechnen, die sich auch imbeschränkt difieren- 

 zieren läßt. Ähnliches gilt für die bei C'AUCHYSchen Untersuchungen 

 auftretenden Integrale 



/" wdz 



in denen w eine längs des Integrationsweges gegebene Größe l)edeutet. 

 Das sind analytische Darstellungsformen. Aber der formalen Auf- 

 fassung steht eine andere gegenüber, die Cauchy und nach ihm noch 

 deutlicher Riemann vertritt. Danach wird die Funktion einer kom- 

 plexen Größe durch eine ihr zukommende geometrische Eigenschaft de- 

 finiert. Cauchy spricht von einer monogonen Funktion von ,r = ^ + i *) , 



df df 



wenn sie die Bedingung erfüllt: ^ — = i -j^, tmd Riemann sagt schlecht- 



hin: Eine veränderliche komplexe Größe w heißt eine Funktion einer 



andern komplexen Größe z, wenn sie mit ihr sich so ändert, daß 



dw 

 der Wert des Difi'erentialquotienten — — unabhängig A'on dem Werte 



dz 



des DiiFerentials dz ist. 



Die reguläre analytische Funktion einer reellen Veränderlichen x 

 läßt sich nicht so definieren. Wenn man von der Funktion f{x) vor- 

 aussetzt, daß sie einen ersten Diflerentialquotienten hat, so folgt daraus 

 durchaus nicht, daß sie auch einen zweiten besitzt, und es ist von 

 Interesse, zu erkennen, warum eine Begriffsbestimmvmg, die in dem 

 einen Falle fruchtbar ist, in dem anderen unfruchtbar bleibt. 



Riemann setzt, bei den Funktionen einer komplexen Veränder- 

 lichen, die P^xistenz des von dz imabhängigen Differentialquotienten 



