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ScHiiriKv: Geoijieti'. BegrilV dir KnnUtioii rim-r lounplexcii Veriiiulerlii'lieii 791 



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— — voraus, uiul stillscbwrigcnd ikk-Ii etwas inrlir. nämlicli die Stftis^- 



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Durch eine verhältnismäßig neuere Untersuchung von (icuRSAi liaf 



sK'li gezeigt, (laß die f^tetlgkeit von , eine notwendige l'olge der 



Existenz ist. Durch diese Bemerkung von (Iouksat ist es nötig ge- 

 worden, die (^REENSchen Methoden, deren sich Cauchy und Kiemann 

 Ixxlienen. um zmiächst einen Ausdruck für die Funkiion oder wenig- 

 stens für ihren reellen Teil zu finden, durch eine andere zu ersetzen. 

 Sehr gut ist die, die Moore' gegeben hat, im Anschluß an die Arbeiten 

 von GouRSAT. Dabei handelt es sich um einen vorbereitenden Satz, 

 dei' der Integralrechnung angehört, (ierade deshalb, weil er zu einer 

 BegTündung der Funktionentheorie dient, möchte icli ihn so einfacli 

 und allgemein wie möglicli aussprechen. 



Man denke sich ein Rechteck oder ein Parallelogramm, eine 

 Raute, in einem abgegrenzten Teil des Raumes oder der Ebene. In 

 diesem Gebiet sei lo eine stetige, z eine lineare Funktion, dann läßt 

 sich das Integral \rcd: biMen, erstreckt über den Rand der Raute. 

 Ist dies von o verschieden, so gibt es sicher unendlich viele Punkte 

 in dem räumlichen oder ebenen Gebiete, so beschaffen, daß, wenn r„ 

 und u'^ die zugehörigen Werte von z vmd iL' sind, die Funktion w — ic^ 

 nicht durch z — z^ teilbar ist. 



Der Ausdruck Difl'erentialquotient, mit dem so viele Vorstellungen 

 verknüpft sind, ist hier vermieden. Von Wichtigkeit ist natürlich die 

 Umkehrung: Wenn gar keine solchen Punkte existieren sollten, oder 

 nur eine endhche Zahl, so ist das Integral über den Rand einer be- 

 liebigen Raute wd;: gleich o. Und von der Rautenfigur könnte man 

 zu andern übergehen, aber das hat keinen wesentlichen Nutzen. 



Es sei ein Gebiet G gegeben, ein Teil der Ebene oder des ge- 

 wöhnlichen Raums oder auch des Raums von beliebig vielen Aus- 

 dehnungen. Wir betrachten veränderliche Größen w, die im Innern 

 \o\\ (t eindeutig und stetig sind, so daß, wenn w eine davon ist, 

 Po irgend ein Punkt innerhalb G und A eine beliebig kleine Größe, 

 die Funktion "■ in P^ einen bestimmten endlichen Wert w„ hat und 

 sich eine Umgebung von P„ angeben läßt, in der w — w^ kleiner als 

 A ist. Sind w , ic' zwei dieser Größen, so sind ihre Summe, ihre 

 Differenz und ihr Produkt von derselben Beschaftenlieit: wir nennen 



Vol. 1 (1900). TransactioiLS ot" the Am. Math. Soc. 



