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eleidie Teile, so ist das Randintetri'al iwd: von Ji gl(>icli der Suninie 

 der Randintegrale aller vier Teile: es muß dalier unter den vier 

 Teilen mindestens einen geben, R,, dessen Randintegral ./, größer 



oder gleich — J ist, also größer als (//iI))-A. Dafür kann man setzen: 

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(2wi>,)'A. wobei D, = D der Durchmesser von /i*, ist. Der Schluß 



läßt sich fortsetzen. Wir bekommen eine Kette von Rauten : R , K,. K^- ■ 

 in inf.. R, liegt in R, Ä, in R,, if, in R,, die Durchmesser I), ]J,, D^- ■ • 



werden immer kleiner, es ist D,,= ,_ : aber das Randintegral J„= «v/c 



über den Ümfiing von i?„ ist größer als {2/jiD„YA. Es gibt einen 

 Punkt, der allen Rautenfiguren der Kette gemeinsam ist. Wir be- 

 zeichnen ihn mit P^, die zugehörigen Werte von ir und z mit iv^, z„ 

 und behaupten, daß iv — w„ nicht durch z — z„ teilbar ist. 



Nehmen Avir für den Augenblick das (Tegenteil an. Dann läl.H 

 sich IV in zwei Teile zerlegen, von denen der eine linear in z ist, der 

 andre das Produkt von z — c„ mit einer stetigen in P„ verschwinden- 

 den Größe: 



w = Z-\-W: Z=iiz-hß; Wz={z — :,)<p. 



Das Integral Zdz über eine geschlossene Linie ist O: daher ist J„ gleich 

 dem über den Rand \on R^ erstreckten Integral Wr;?2. Wir wählen 

 eine Umgebung von P„. so eng, daß innerhalb davon (p kleiner als das 

 vorhin eingeführte A bleibt, und nehmen die Zahl n so groß an, daß R„ 

 ganz in dieser Umgebung liegt. Dann ist ^ — r^ auf der Integrations- 

 linie kleiner als mZ>„und (p kleiner als A, also W kleiner als mD„S: da 

 die Seiten kleiner als D„ sind, so ist das Integral Wdz über eine Seite 



kleiner als das Produkt von )}tD„A mit mD„, und J„ kleiner als das 

 Vierfache dieses Produkts. Das ist unrichtig;./« ist größer als (2 mZ)„)'A. 

 Folglich ist w — u\ nicht durch z — 2^ teilbar. 



So müssen wir jetzt schließen, und dies ist im wesentlichen der 

 MooRESche Schluß : Wenn J von o verschieden ist, dann gibt es im 

 Innern von G mindestens einen Punkt P„ von der Art, daß die in P„ 

 verschwindende Funktion ;/' — iv^ nicht durch die zugehörige z — z^ teil- 

 bar ist. Und Avenn umgekehrt für jeden Punkt P^, der im Innern von 

 G liegt, nicht nur die Stetigkeit vorausgesetzt wird, sondern auch die 

 Teilbarkeit von w — iv^ durch z — z^, so ist notwendig das Integral 

 wdz, erstreckt über den Rand jeder beliebigen in G liegenden Raute, 

 gleich o. 



