794 Sitzung der ])hysikalisch-matheinatisclien Klasse vom 11. Novemtier 191") 



Das Resultat J = wdz = o bleibt auch bestehen, wenn man ein- 

 zehie Ausnahine[)unkte zuläßt, in endliclier Zahl, für die zwar die Stetig- 

 keits-, aber nicht die Teilbarkeitsbedingung gefordert wird. Nehmen 

 wir zunächst an, daß nur ein solcher Punkt existiert; wir nennen ihn 

 wieder P^ und die zugehörigen Werte von ic , z:ti)^, z„. Liegt P^ nicht 

 aufjR, so ist ohne weiteres J = o, deim dann kann man eine Um- 

 gebung des Punktes vom Gebiete G absondern. Liegt aber P-, auf i?. 

 dann läßt sich ein beliebig kleiner Teil R' von R definieren, der P„ ent- 

 hält, wiederum in der Form einer Raute, deren Seiten denen von R 

 parallel sind, wofern sie nicht mit ihnen zusammenfallen. Indem man 

 die Seiten von R' verlängert, wird R in eine Anzahl rautenförmiger 

 Teile zerlegt. Dazu gehört R'; bei den übrigen liegt P^ außerhalb; 

 folglich sind ihre Randintegrale gleich o. Nun ist das Randintegral 

 von R gleich der Summe der RandintegTale aller Teile von R: es ist 

 somit J gleich dem Randintegral von R' . R' hat beliebig kleinen Um- 

 fang, und IC ist stetig; daraus folgt, daß J kleiner ist als jede noch 

 so kleine Zahl, also o. 



Sind mehrere solche problematische Punkte vorhanden, so kann 

 man R zerlegen, wiederum diu-ch Parallele zu den Seiten, in Teile, 

 deren jeder höchstens einen der Punkte enthält. 



Somit besteht der Satz, daß das Randintegral j tcdz einer beliebigen 

 im Gebiet liegenden Raute gleich o ist, wenn für die Größe w die 

 Stetigkeit ausnahmslos gefordert wird und die Teilbarkeitsbedingung 

 entweder für alle Punkte, oder mit Ausnahme einer endlichen Anzahl 

 gestellt wird'. 



Der Hilfssatz ist damit bewiesen. 



Nun nehmen wir im Gebiete G zwei von den problematischen 

 Ausnahmepunkten verschiedene Punkte P^ vmd P,' an, mit den zuge- 

 hörigen Werten z^, w^, zä , w^ , von ^ und w . Dann lassen sich, den Vor- 

 aussetzungen nach, zwei im ganzen Gebiete stetige Funktionen W, W 

 aufstellen, die den Gleichungen 



W — W„ = {- — ■^o)^^ "■ — Wo = ('S — K)^' 



genügen. Bezeichnet man den Wert von W m P'^ mit W„ , so daß w^ — n\ 

 = (z^ — z^) W„ ist, dann ergibt sich: 



(z, — c') ( W— W„) = (z — z',){ W— W ) . 



' RiEMANN setzt in den Aiisnahmepunkten auch die Stetigkeit nicht voraus, sondern 

 nur, daß das Produkt von w mit : — Zo liei der Annäherung an den Punkt Po , wo 

 2 = Co ist, unendlich klein wird. Riemanns Annahme läßt sich auf die, die wir hier 

 machen, zurückführen, indem man statt w das Produkt von «c mit einer ganzen Funktion 

 betrachtet, die in den probleuiatisi-hen Funkten verschwindet. 



