SrHOiTKv: tieoinetr. Begrift der Function einer koiuplexen Veräriderliclieii 795 



Um weiter zu schließen, müssen wir die Voraussetzungen selir 

 verschärfen. Wir nehmen ;in, daß z eine lineare Funktion ist, die 

 jeden ihrer Werte nur in einem Punkte annimmt. Das ist nur möglicli, 

 wenn das Gebiet G ein Teil der Ebene ist und z eine imaginäre Funktion. 



Wir nehmen also das Gebiet als ein ebenes an. Dort sind die 

 komplexen veränderlichen Größen w und z gegeben. Von der ersten 

 setzen wir voraus, daß sie i)i G stetig ist und daß im allgemeinen 

 die Differenzen w — lOo durch die zugehörigen z — ;„ teilbar sind ; imr 

 eine endliche Anzahl von Punkten P,, darf vorhanden sein, für die 

 wir diese Teilbarkeit nicht voraussetzen, und auch nicht das Gegenteil. 

 z dagegen soll eine imaginäre lineare Funktion sein, die jeden ihrer 

 Werte nur in einem Punkte der Ebene annimmt. 



Bei dieser neuen Voraussetzung ist z^ — z^ eine von o verschiedene 

 Konstante, und da W — W im ganzen Gebiete stetig ist. so ist W — W„ 

 durch c — z^ teilbar. Das gilt für jeden Punkt P^ , der von P^ und 

 den problematischen verschieden ist. Somit hat W genau dieselben 

 Eigenschaften, die bei lo vorausgesetzt wurden, nur daß der Punkt P„ 

 noch zu den problematischen hinzutritt. Es ist demnach, wenn wir 

 in dem ebenen Gebiete G irgend eine Raute zeichnen, nicht nur wdz . 



sondern auch das Integral Wdz über den Rand der Figur gleich o. 

 P„ nehmen wir im Innern von R an. Am Rande ist dann c — -„ 

 von o verschieden, und die Gleichung Wdz = o kann so geschrieben 

 werden : 



r wdz (' dz 



= "^o 



J z — z^ J z — z„ 



Das Integral, das auf der rechten Seite als Faktor auftritt, ist 

 die vollständige Änderung von log (2 — z„) auf der geschlossenen Inte- 

 grationslinie und hat, je nachdem die Richtung gewählt wird, den 

 Wert -f-27r/ oder — iiri. Wir nennen dies: c. und schreiben die 

 Gleichung so : 



wdz 



h 



c(z — z„) ° 



Damit Avird der Wert ic„ von w in irgend einem Punkte P„ , der inner- 

 halb der Raute liegt und von den problematischen verschieden ist, 

 analytisch dargestellt durch den entsprechenden z^ von z. Es ist, für 

 das Innere der Rautenfigur, zunächst noch mit Ausschluß der proble- 

 matischen Punkte, eine analytische Darstellung der komplexen Größe w 

 als Funktion der komplexen Größe ;: gegeben. 



Jetzt ist es doch besser, ein rechtwinkliges Koordinatenkreuz zu 

 wählen. Die Abszisse von P sei ^, die Ordinate »i; wir setzen direkt: 



