/ 9fi Sitzung der physikalisch-mathematisclieii Klasse vom 11. November 1915 



: ■= ^-h iy,. Da durcli den Wert von z der Punkt P bestimmt ist. so 

 kann man ihn als den Punkt : bezeichnen. 



Die Form erweitern wir. Wir stellen das Intei-ral anf: 



I icR(.i — :)flz. 



Der Weg L darf eine beliebige offene oder geschlossene Linie 

 der Ebene sein, n- denken wir uns, als stetige Größe, definiert für 



die Punkte der linie L: R{x) kann sein oder irgendeine andere 



rationale Funktion, die nur für .r = o unendlich wird, also eine ganze 



von -. Das Integral hat einen bestimmten endlichen Wert für jeden 



Punkt x = ^-hiy,, der nicht auf L liegt. Wir beschränken aber x 

 auf ein Gebiet H, das nicht von L durchzogen wird, inid bezeichnen 

 das Integral als F(x). 



Von der Funktion R bilden wir die Ableitungen, die wir der 

 Reihe nach mit R' , R" usw. bezeichnen. Ferner die Polynome R(x , y), 

 S (x , y), die den Gleichungen 



R(x)-R{y) = (x-y)R{x,y) 

 R{x,y)-R'(y) = [x-y)S{x.y) 



genügen. Beides sind ganze Funktionen von und - . — Wir 



setzen ferner för je zwei verschiedene Punkte x.y. die im Innern 

 von H liegen: 



j wR(x — : ,y — :) dz = F(x , y) . 



wS(x — z . y — z)d: — G [x , y) . 

 und : 



I wR'{x—:)dz = F'{a). 



j icR"{x — z) dz — F" (.(■) . usf. ; 



alsdann ist 



F{x)-F(y) = (x-y)F{x,y). 



FUv.y)-F'(y) = (x-y)Cr{x.y). 



Diese Gleichungen zeigen unmittelbar nicht nur die Stetigkeit 

 von F{x) im Gebiet H, sondern auch, daß F'(x) der Differentialquotient 

 von F(x) ist. Denn beschränken wir die Punkte x,y für den Augen- 

 blick auf eiii engeres Gebiet H', das von der Linie L auch nicht be- 

 rührt wird, und bezeichnen mit d die kürzeste Entfernung zwischen 



